Номер 5.9, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.9, страница 31.

5.9. a) $y = \sqrt{\frac{3x^2 - 8x - 3}{x - 3} - 2x}$;

б) $y = \sqrt[4]{\frac{3x^2 - 2x - 1}{1 - x} - \frac{4x^2 - 6x - 4}{2 - x}}$.

а)

Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{\frac{3x^2 - 8x - 3}{x - 3} - 2x}$ необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным, а знаменатель дроби не был равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \frac{3x^2 - 8x - 3}{x - 3} - 2x \ge 0 \\ x - 3 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{3x^2 - 8x - 3 - 2x(x - 3)}{x - 3} \ge 0$

$\frac{3x^2 - 8x - 3 - 2x^2 + 6x}{x - 3} \ge 0$

$\frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3} \ge 0$

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Следовательно, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Разложим числитель на множители: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$.

Подставим разложение в неравенство:

$\frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 3} \ge 0$

Из второго условия системы мы знаем, что $x \ne 3$. Поэтому мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Теперь объединим полученное решение с условием $x \ne 3$. Область определения функции — это все числа $x$, такие что $x \ge -1$ и $x \ne 3$.

Ответ: $D(y) = [-1, 3) \cup (3, +\infty)$.

б)

Для нахождения области определения функции $y = \sqrt[4]{\frac{3x^2 - 2x - 1}{1 - x} - \frac{4x^2 - 6x - 4}{2 - x}}$ необходимо, чтобы выражение под корнем четвертой степени было неотрицательным, а знаменатели дробей не были равны нулю.

Запишем систему условий:

$\begin{cases} \frac{3x^2 - 2x - 1}{1 - x} - \frac{4x^2 - 6x - 4}{2 - x} \ge 0 \\ 1 - x \ne 0 \\ 2 - x \ne 0 \end{cases}$

Из второго и третьего условий получаем $x \ne 1$ и $x \ne 2$.

Решим первое неравенство. Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - x)(2 - x)$:

$\frac{(3x^2 - 2x - 1)(2 - x) - (4x^2 - 6x - 4)(1 - x)}{(1 - x)(2 - x)} \ge 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(3x^2 - 2x - 1)(2 - x) = 6x^2 - 3x^3 - 4x + 2x^2 - 2 + x = -3x^3 + 8x^2 - 3x - 2$

$(4x^2 - 6x - 4)(1 - x) = 4x^2 - 4x^3 - 6x + 6x^2 - 4 + 4x = -4x^3 + 10x^2 - 2x - 4$

Вычтем второе выражение из первого:

$(-3x^3 + 8x^2 - 3x - 2) - (-4x^3 + 10x^2 - 2x - 4) = -3x^3 + 8x^2 - 3x - 2 + 4x^3 - 10x^2 + 2x + 4 = x^3 - 2x^2 - x + 2$

Неравенство принимает вид:

$\frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{(1 - x)(2 - x)} \ge 0$

Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)$

Подставим полученное выражение в неравенство:

$\frac{(x - 1)(x + 1)(x - 2)}{(1 - x)(2 - x)} \ge 0$

Преобразуем знаменатель: $(1 - x)(2 - x) = (-(x-1))(-(x-2)) = (x-1)(x-2)$.

$\frac{(x - 1)(x + 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} \ge 0$

Учитывая, что $x \ne 1$ и $x \ne 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$ и $(x - 2)$:

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Объединяя полученное решение с условиями $x \ne 1$ и $x \ne 2$, получаем область определения функции.

Ответ: $D(y) = [-1, 1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty)$.