Номер 5.16, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.16, страница 32.

5.16. a) $y = \sqrt[4]{\frac{2x - 5}{4x + 8}} + \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}{x - 3};$

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 5x}}{2x + 2} - \sqrt{\frac{2x + 2}{x - 4}}.$

а)

Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt[4]{\frac{2x - 5}{4x + 8}} + \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}{x - 3}$, необходимо, чтобы все выражения под корнями и в знаменателях были определены. Это приводит к следующей системе условий:

1. Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным: $\frac{2x - 5}{4x + 8} \geq 0$.
2. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 2x - 3 \geq 0$.
3. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x - 3 \neq 0$.

Решим каждое условие по отдельности.

1. Решим неравенство $\frac{2x - 5}{4x + 8} \geq 0$ методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя:
$2x - 5 = 0 \implies x = 2,5$
$4x + 8 = 0 \implies x = -2$
Точка $x=2,5$ является решением, так как неравенство нестрогое. Точка $x=-2$ (корень знаменателя) решением не является. На числовой оси эти точки делят прямую на три интервала. Определим знак дроби в каждом из них:
- при $x > 2,5$ (например, $x=3$): $\frac{2(3)-5}{4(3)+8} = \frac{1}{20} > 0$. Интервал подходит.
- при $-2 < x < 2,5$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-5}{4(0)+8} = -\frac{5}{8} < 0$. Интервал не подходит.
- при $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{2(-3)-5}{4(-3)+8} = \frac{-11}{-4} > 0$. Интервал подходит.
Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup [2,5; +\infty)$.

2. Решим квадратное неравенство $x^2 + 2x - 3 \geq 0$.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
Графиком функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$.

3. Из условия $x - 3 \neq 0$ получаем $x \neq 3$.

Теперь найдем пересечение всех полученных решений, то есть общую часть для всех трех условий.
Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty; -2) \cup [2,5; +\infty)$ и $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$, а затем исключить точку $x=3$.
- Пересечение $(-\infty; -2)$ с $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$ дает интервал $(-\infty; -3]$.
- Пересечение $[2,5; +\infty)$ с $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$ дает интервал $[2,5; +\infty)$.
Объединяя эти результаты, получаем множество $(-\infty; -3] \cup [2,5; +\infty)$.
Наконец, применяем условие $x \neq 3$. Точка 3 входит в интервал $[2,5; +\infty)$, поэтому мы должны ее исключить, разбив интервал на два.
Окончательная область определения функции: $(-\infty; -3] \cup [2,5; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -3] \cup [2,5; 3) \cup (3; +\infty)$.

б)

Чтобы найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 5x}}{2x + 2} - \sqrt{\frac{2x + 2}{x - 4}}$, необходимо учесть следующие ограничения:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 5x \geq 0$.
2. Знаменатель первой дроби не должен равняться нулю: $2x + 2 \neq 0$.
3. Выражение под вторым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $\frac{2x + 2}{x - 4} \geq 0$.

Решим каждое условие.

1. Решим неравенство $x^2 - 5x \geq 0$.
Разложим на множители: $x(x - 5) \geq 0$.
Корни уравнения $x(x - 5) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она неотрицательна при $x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$.

2. Решим $2x + 2 \neq 0 \implies 2x \neq -2 \implies x \neq -1$.

3. Решим неравенство $\frac{2x + 2}{x - 4} \geq 0$ методом интервалов.
Нули числителя и знаменателя:
$2x + 2 = 0 \implies x = -1$
$x - 4 = 0 \implies x = 4$
Точка $x=-1$ включается в решение, точка $x=4$ исключается. Определим знаки на интервалах:
- при $x > 4$: $\frac{+}{+} > 0$. Интервал $(4; +\infty)$ подходит.
- при $-1 < x < 4$: $\frac{+}{-} < 0$. Интервал не подходит.
- при $x < -1$: $\frac{-}{-} > 0$. Интервал $(-\infty; -1]$ подходит.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup (4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех условий.
Условие 1: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$.
Условие 2: $x \neq -1$.
Условие 3: $x \in (-\infty; -1] \cup (4; +\infty)$.
Найдем пересечение множеств из условий 1 и 3:
$((\-\infty; 0] \cup [5; +\infty)) \cap ((\-\infty; -1] \cup (4; +\infty))$.
- Пересечение левых частей: $(-\infty; 0] \cap (-\infty; -1] = (-\infty; -1]$.
- Пересечение правых частей: $[5; +\infty) \cap (4; +\infty) = [5; +\infty)$.
Результат пересечения условий 1 и 3: $(-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$.
Теперь учтем условие 2: $x \neq -1$. Исключаем точку $-1$ из полученного множества.
Окончательная область определения: $(-\infty; -1) \cup [5; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup [5; +\infty)$.