Номер 5.22, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.22, страница 33.

Найдите область значений функции:

5.22. a) $y = \sqrt[4]{x+1}$;

б) $y = \sqrt[5]{x-2}$;

в) $y = \sqrt[7]{x+3}$;

г) $y = \sqrt[6]{x-4}$.

а) $y = \sqrt[4]{x} + 1$

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$.

Функция содержит корень четной степени (корень 4-й степени). По определению арифметического корня, значение выражения $\sqrt[4]{x}$ всегда неотрицательно, то есть $\sqrt[4]{x} \ge 0$. Это верно для всех $x$ из области определения функции ($x \ge 0$).

Чтобы найти область значений для всей функции $y$, мы прибавляем 1 к обеим частям неравенства:

$\sqrt[4]{x} + 1 \ge 0 + 1$

Отсюда следует, что $y \ge 1$.

Таким образом, область значений функции — это промежуток от 1, включая 1, до плюс бесконечности.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[5]{x} - 2$

Функция содержит корень нечетной степени (корень 5-й степени). Корень нечетной степени из любого действительного числа является действительным числом. Это означает, что выражение $\sqrt[5]{x}$ может принимать любые значения от $-\infty$ до $+\infty$.

Функция $y = \sqrt[5]{x} - 2$ получается из функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ сдвигом ее графика на 2 единицы вниз по оси ординат. Поскольку исходная область значений — это все действительные числа, сдвиг на константу не меняет этого множества.

Следовательно, область значений функции $y$ также является множеством всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[7]{x} + 3$

Эта функция содержит корень нечетной степени (корень 7-й степени). Как и в предыдущем случае, выражение $\sqrt[7]{x}$ может принимать любое действительное значение, так как область его значений — $(-\infty; +\infty)$.

Прибавление константы 3 к $\sqrt[7]{x}$ означает сдвиг графика функции $f(x) = \sqrt[7]{x}$ на 3 единицы вверх. Этот сдвиг не влияет на то, что функция может принимать любое значение на числовой прямой.

Таким образом, область значений функции $y$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[6]{x} - 4$

Функция содержит корень четной степени (корень 6-й степени). Значение выражения $\sqrt[6]{x}$ всегда неотрицательно, то есть $\sqrt[6]{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$).

Чтобы найти область значений функции $y$, мы вычитаем 4 из обеих частей неравенства:

$\sqrt[6]{x} - 4 \ge 0 - 4$

Отсюда следует, что $y \ge -4$.

Значит, область значений функции — это промежуток от -4, включая -4, до плюс бесконечности.

Ответ: $E(y) = [-4; +\infty)$.