Номер 5.24, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.24, страница 33.

5.24. a) $y = \sqrt[3]{x^2 - 8};$

б) $y = \sqrt[5]{32 - 2x^2}.$

а) $y = \sqrt[3]{x^2 - 8}$

Для нахождения производной данной функции необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Для этого представим функцию в виде степени:

$y = (x^2 - 8)^{1/3}$

Производная сложной функции вида $y = f(g(x))$ находится по формуле $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $f(u) = u^{1/3}$, а внутренняя функция $g(x) = x^2 - 8$.

Находим производные этих функций:

$f'(u) = (u^{1/3})' = \frac{1}{3}u^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}u^{-2/3}$

$g'(x) = (x^2 - 8)' = 2x$

Теперь, согласно цепному правилу, перемножаем производные:

$y' = \frac{1}{3}(x^2 - 8)^{-2/3} \cdot (2x)$

Упростим полученное выражение:

$y' = \frac{2x}{3(x^2 - 8)^{2/3}}$

Или, возвращаясь к записи с корнем:

$y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 - 8)^2}}$

Ответ: $y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 - 8)^2}}$

б) $y = \sqrt[5]{32 - 2x^2}$

Решение аналогично предыдущему пункту. Применяем цепное правило. Сначала представим функцию в виде степени:

$y = (32 - 2x^2)^{1/5}$

Здесь внешняя функция $f(u) = u^{1/5}$, а внутренняя функция $g(x) = 32 - 2x^2$.

Находим производные внешней и внутренней функций:

$f'(u) = (u^{1/5})' = \frac{1}{5}u^{1/5 - 1} = \frac{1}{5}u^{-4/5}$

$g'(x) = (32 - 2x^2)' = -4x$

Применяем цепное правило, перемножая производные:

$y' = \frac{1}{5}(32 - 2x^2)^{-4/5} \cdot (-4x)$

Упрощаем выражение:

$y' = -\frac{4x}{5(32 - 2x^2)^{4/5}}$

Запишем ответ с использованием знака корня:

$y' = -\frac{4x}{5\sqrt[5]{(32 - 2x^2)^4}}$

Ответ: $y' = -\frac{4x}{5\sqrt[5]{(32 - 2x^2)^4}}$