Номер 5.30, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.30, страница 34.

Определите число решений системы уравнений:

5.30. a) $\begin{cases} y = \sqrt[4]{x}, \\ 2x - 3y = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \sqrt[3]{x}, \\ 3y - 4x = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = \sqrt[5]{x}, \\ 6 - 2x - 3y = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \sqrt[6]{x}, \\ 5 + x - 2y = 0. \end{cases}$

а)Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}y = \sqrt[4]{x} \\2x - 3y = 6\end{cases}$
Из первого уравнения следует, что область определения $x \ge 0$, а также $y \ge 0$, так как корень четной степени арифметический.
Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе: $2x - 3\sqrt[4]{x} = 6$.
Для решения этого уравнения введем замену $t = \sqrt[4]{x}$. Учитывая, что $y \ge 0$, получаем $t \ge 0$. Так как $x = t^4$, уравнение принимает вид:$2t^4 - 3t - 6 = 0$.
Чтобы определить количество решений, проанализируем функцию $f(t) = 2t^4 - 3t - 6$ на промежутке $t \ge 0$.Найдем ее производную: $f'(t) = 8t^3 - 3$.Производная обращается в ноль в точке $t = \sqrt[3]{3/8}$. Это точка минимума.Функция $f(t)$ убывает на промежутке $[0, \sqrt[3]{3/8}]$ и возрастает на $[\sqrt[3]{3/8}, +\infty)$.
Так как $f(0) = -6$, а $\lim_{t \to \infty} f(t) = +\infty$, и функция непрерывна, она пересечет ось абсцисс ровно один раз при некотором положительном значении $t_0$.
Каждому положительному корню $t_0$ соответствует единственное решение исходной системы $(x_0, y_0) = (t_0^4, t_0)$.
Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: 1 решение.

б)Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}y = \sqrt[3]{x} \\3y - 4x = 0\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$: $3y = 4x \implies y = \frac{4}{3}x$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $\frac{4}{3}x = \sqrt[3]{x}$.
Очевидно, что $x_1 = 0$ является корнем. В этом случае $y_1 = 0$, так что точка $(0, 0)$ — это одно из решений.
Для поиска других решений предположим, что $x \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt[3]{x}$:$\frac{4}{3}\frac{x}{\sqrt[3]{x}} = 1 \implies \frac{4}{3}x^{1 - 1/3} = 1 \implies \frac{4}{3}x^{2/3} = 1$.
Отсюда $x^{2/3} = \frac{3}{4}$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части в степень 3/2: $(x^{2/3})^{3/2} = (\frac{3}{4})^{3/2} \implies |x| = \frac{3^{3/2}}{4^{3/2}} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$.
Это дает нам еще два корня для $x$: $x_2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ и $x_3 = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$.
Для каждого из этих значений $x$ находим соответствующий $y$:
Если $x_2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$, то $y_2 = \sqrt[3]{x_2} = \sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Если $x_3 = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$, то $y_3 = \sqrt[3]{x_3} = \sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}}{8}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, система имеет три различных решения.
Ответ: 3 решения.

в)Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}y = \sqrt[5]{x} \\6 - 2x - 3y = 0\end{cases}$
Подставим $y$ из первого уравнения во второе: $6 - 2x - 3\sqrt[5]{x} = 0$.
Перепишем уравнение: $2x + 3\sqrt[5]{x} - 6 = 0$.
Введем замену $t = \sqrt[5]{x}$. Тогда $x = t^5$, и уравнение принимает вид:$2t^5 + 3t - 6 = 0$.
Рассмотрим функцию $g(t) = 2t^5 + 3t - 6$.Ее производная $g'(t) = 10t^4 + 3$. Поскольку $t^4 \ge 0$ для любого действительного $t$, производная $g'(t) \ge 3 > 0$.
Это означает, что функция $g(t)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.
Строго монотонная непрерывная функция может пересечь ось абсцисс не более одного раза.Проверим значения функции в некоторых точках: $g(1) = 2+3-6 = -1$ и $g(2) = 2 \cdot 32 + 3 \cdot 2 - 6 = 64$.Так как на отрезке $[1, 2]$ функция меняет знак с минуса на плюс, она имеет ровно один действительный корень $t_0$.
Каждому корню $t_0$ соответствует единственное решение системы $(x_0, y_0) = (t_0^5, t_0)$.
Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: 1 решение.

г)Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}y = \sqrt[6]{x} \\5 + x - 2y = 0\end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Подставим $y$ из первого уравнения во второе: $5 + x - 2\sqrt[6]{x} = 0$.
Введем замену $t = \sqrt[6]{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^6$, и уравнение принимает вид:$t^6 - 2t + 5 = 0$.
Проанализируем функцию $h(t) = t^6 - 2t + 5$ на наличие неотрицательных корней. Найдем ее наименьшее значение при $t \ge 0$.Производная $h'(t) = 6t^5 - 2$.$h'(t) = 0$ при $6t^5 = 2 \implies t^5 = 1/3 \implies t_m = \sqrt[5]{1/3}$.В этой точке функция достигает своего минимума для $t \ge 0$.
Вычислим значение функции в этой точке. Так как $t_m^5 = 1/3$, то $t_m^6 = t_m \cdot t_m^5 = \frac{1}{3}t_m$.$h(t_m) = t_m^6 - 2t_m + 5 = \frac{1}{3}t_m - 2t_m + 5 = 5 - \frac{5}{3}t_m$.
Поскольку $0 < 1/3 < 1$, то и $0 < t_m = \sqrt[5]{1/3} < 1$.Значит, $0 < \frac{5}{3}t_m < \frac{5}{3}$.Тогда минимальное значение $h(t_m) = 5 - \frac{5}{3}t_m > 5 - \frac{5}{3} = \frac{10}{3} > 0$.
Так как наименьшее значение функции $h(t)$ на промежутке $t \ge 0$ строго положительно, уравнение $h(t)=0$ не имеет корней на этом промежутке.
Следовательно, исходная система не имеет решений.
Ответ: 0 решений.