Номер 5.33, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.33, страница 35.

5.33. Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \begin{cases} \sqrt[7]{x}, & \text{если } x \le -1, \\ -x^2, & \text{если } -1 < x \le 1, \\ x - 2, & \text{если } x > 1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 3(x + 1)^2, & \text{если } -2 \le x \le -1, \\ -2x - 2, & \text{если } -1 < x < 0, \\ \sqrt[6]{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

а) Дана кусочно-заданная функция:

$y = \begin{cases} \sqrt[7]{x}, & \text{если } x \le -1 \\ -x^2, & \text{если } -1 < x \le 1 \\ x - 2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Построение графика:

График функции состоит из трех частей:

1. На промежутке $(-\infty; -1]$ строим график функции $y = \sqrt[7]{x}$. Это ветвь функции нечетного корня. Концевая точка на этом участке: при $x=-1$, $y = \sqrt[7]{-1} = -1$. Точка $(-1, -1)$ принадлежит графику.
2. На промежутке $(-1; 1]$ строим график функции $y = -x^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. В граничных точках имеем: при $x \to -1^+$, $y \to -(-1)^2 = -1$ (точка $(-1, -1)$ является "выколотой" для этого куска, но совпадает с конечной точкой предыдущего, поэтому разрыва нет); при $x=1$, $y=-(1)^2 = -1$. Точка $(1, -1)$ принадлежит графику.
3. На промежутке $(1; +\infty)$ строим график функции $y = x - 2$. Это луч прямой линии. В граничной точке при $x \to 1^+$, $y \to 1-2 = -1$ (точка $(1, -1)$ является "выколотой" для этого куска, но совпадает с конечной точкой предыдущего, поэтому разрыва нет). Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x=2$, $y=2-2=0$.

Функция является непрерывной на всей числовой оси, так как значения на стыках интервалов совпадают.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y=0$ при $-x^2=0 \Rightarrow x=0$ и при $x-2=0 \Rightarrow x=2$. Нули: $x=0, x=2$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x \in (2; +\infty)$.
  • $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2)$.
• Монотонность:
  • Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; +\infty)$.
  • Функция убывает на промежутке $[0; 1]$.
• Экстремумы:
  • Точка максимума: $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$.
  • Точка минимума: $x_{min} = 1$, $y_{min} = -1$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: График функции построен. Свойства функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Нули: $x=0, x=2$. Функция положительна при $x>2$, отрицательна при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2)$. Возрастает на $(-\infty; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $[0; 1]$. Точка локального максимума $(0; 0)$, точка локального минимума $(1; -1)$. Функция общего вида.

---

б) Дана кусочно-заданная функция:

$y = \begin{cases} 3(x+1)^2, & \text{если } -2 \le x \le -1 \\ -2x - 2, & \text{если } -1 < x < 0 \\ \sqrt[6]{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:

График функции состоит из трех частей:

1. На отрезке $[-2; -1]$ строим график функции $y = 3(x+1)^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(-1, 0)$ и ветвями, направленными вверх. В граничных точках имеем: при $x=-2$, $y=3(-2+1)^2 = 3$; при $x=-1$, $y=3(-1+1)^2=0$. Точки $(-2, 3)$ и $(-1, 0)$ принадлежат графику.
2. На интервале $(-1; 0)$ строим график функции $y = -2x-2$. Это отрезок прямой линии (без концов). В граничных точках имеем: при $x \to -1^+$, $y \to -2(-1)-2=0$; при $x \to 0^-$, $y \to -2(0)-2=-2$. Точки $(-1, 0)$ и $(0, -2)$ не принадлежат этому участку графика. Стык в точке $x=-1$ непрерывный.
3. На промежутке $[0; +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt[6]{x}$. Это ветвь функции четного корня. В начальной точке при $x=0$, $y=\sqrt[6]{0}=0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

В точке $x=0$ функция терпит разрыв первого рода (скачок), так как предел слева $\lim_{x \to 0^-} y(x) = -2$, а значение функции справа $y(0) = 0$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = [-2; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-2; +\infty)$.
• Точки разрыва: $x=0$ – разрыв первого рода (скачок).
• Нули функции: $y=0$ при $3(x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1$ и при $\sqrt[6]{x}=0 \Rightarrow x=0$. Нули: $x=-1, x=0$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x \in [-2; -1) \cup (0; +\infty)$.
  • $y < 0$ при $x \in (-1; 0)$.
• Монотонность:
  • Функция убывает на промежутке $[-2; 0)$.
  • Функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы:
  • Локальный максимум в точке $x=-2$, $y_{max}=y(-2)=3$.
  • Локальных минимумов нет. Наименьшее значение (инфимум) функции равно -2, но оно не достигается.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как область определения несимметрична относительно нуля.

Ответ: График функции построен. Свойства функции: $D(y) = [-2; +\infty)$, $E(y) = (-2; +\infty)$. Нули: $x=-1, x=0$. Функция положительна при $x \in [-2; -1) \cup (0; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-1; 0)$. Убывает на $[-2; 0)$, возрастает на $[0; +\infty)$. В точке $x=0$ имеет разрыв первого рода. Локальный максимум в точке $(-2; 3)$. Локальных минимумов нет. Функция общего вида.