Номер 6.5, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.5, страница 35.

Упростите выражение, считая, что все переменные принимают только положительные значения:

6.5. a) $\sqrt{a^2b^4}$;

б) $\sqrt[3]{a^3b^6}$;

в) $\sqrt[4]{a^4b^8}$;

г) $\sqrt[5]{a^5b^{15}}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{a^2b^4}$ воспользуемся свойством корня из произведения и свойством корня из степени: $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$ и $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
По условию, все переменные принимают только положительные значения ($a > 0$, $b > 0$), поэтому при извлечении корня четной степени из переменной в четной степени модуль не требуется.
$\sqrt{a^2b^4} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^4} = a^{2/2} \cdot b^{4/2} = a^1 \cdot b^2 = ab^2$.
Другой способ — представить подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$\sqrt{a^2b^4} = \sqrt{a^2(b^2)^2} = \sqrt{(ab^2)^2} = ab^2$.
Ответ: $ab^2$.

б)

Упростим выражение $\sqrt[3]{a^3b^6}$. Индекс корня равен 3.
Используем те же свойства, что и в предыдущем пункте.
$\sqrt[3]{a^3b^6} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^6} = a^{3/3} \cdot b^{6/3} = a^1 \cdot b^2 = ab^2$.
Также можно представить подкоренное выражение в виде полного куба:
$\sqrt[3]{a^3b^6} = \sqrt[3]{a^3(b^2)^3} = \sqrt[3]{(ab^2)^3} = ab^2$.
Ответ: $ab^2$.

в)

Упростим выражение $\sqrt[4]{a^4b^8}$. Индекс корня равен 4.
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, мы можем упростить выражение следующим образом:
$\sqrt[4]{a^4b^8} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^8} = a^{4/4} \cdot b^{8/4} = a^1 \cdot b^2 = ab^2$.
Представим подкоренное выражение в виде четвертой степени:
$\sqrt[4]{a^4b^8} = \sqrt[4]{a^4(b^2)^4} = \sqrt[4]{(ab^2)^4} = ab^2$.
Ответ: $ab^2$.

г)

Упростим выражение $\sqrt[5]{a^5b^{15}}$. Индекс корня равен 5.
Применяем свойство корня из степени:
$\sqrt[5]{a^5b^{15}} = \sqrt[5]{a^5} \cdot \sqrt[5]{b^{15}} = a^{5/5} \cdot b^{15/5} = a^1 \cdot b^3 = ab^3$.
Представим подкоренное выражение в виде пятой степени:
$\sqrt[5]{a^5b^{15}} = \sqrt[5]{a^5(b^3)^5} = \sqrt[5]{(ab^3)^5} = ab^3$.
Ответ: $ab^3$.