Номер 6.11, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.11, страница 36.

6.11. a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{-3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{9} - \frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}};$

б) $\sqrt[3]{-5} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt{32} + \frac{\sqrt[5]{-729}}{\sqrt[5]{3}}.$

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{-3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{9} - \frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}}$ выполним следующие действия:

1. Сгруппируем множители с одинаковыми показателями корня. Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

Вычислим произведение квадратных корней:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$.

Вычислим произведение кубических корней:

$\sqrt[3]{-3} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{-3 \cdot 9} = \sqrt[3]{-27} = -3$.

2. Упростим дробь, используя свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}} = \sqrt[5]{\frac{-64}{2}} = \sqrt[5]{-32}$.

Поскольку $(-2)^5 = -32$, то $\sqrt[5]{-32} = -2$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:

$(\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}) \cdot (\sqrt[3]{-3} \cdot \sqrt[3]{9}) - \frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}} = 9 \cdot (-3) - (-2) = -27 + 2 = -25$.

Ответ: $-25$

б)

Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{-5} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt{32} + \frac{\sqrt[5]{-729}}{\sqrt[5]{3}}$ выполним следующие действия:

1. Сгруппируем множители с одинаковыми показателями корня и используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

Вычислим произведение кубических корней:

$\sqrt[3]{-5} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{-5 \cdot 25} = \sqrt[3]{-125} = -5$.

Вычислим произведение квадратных корней:

$\sqrt{8} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{8 \cdot 32} = \sqrt{256} = 16$.

2. Упростим дробь, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[5]{-729}}{\sqrt[5]{3}} = \sqrt[5]{\frac{-729}{3}} = \sqrt[5]{-243}$.

Поскольку $(-3)^5 = -243$, то $\sqrt[5]{-243} = -3$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:

$(\sqrt[3]{-5} \cdot \sqrt[3]{25}) \cdot (\sqrt{8} \cdot \sqrt{32}) + \frac{\sqrt[5]{-729}}{\sqrt[5]{3}} = (-5) \cdot 16 + (-3) = -80 - 3 = -83$.

Ответ: $-83$