Номер 6.12, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.12, страница 36.

6.12. а) $ \sqrt[4]{3^3} \cdot 4^2 \cdot \sqrt[4]{4^6} \cdot 3^5 $

Б) $ \sqrt[3]{7^2} \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{7^4} \cdot 2^2 $

В) $ \sqrt[6]{5^{10}} \cdot \sqrt[6]{2^{12}} \cdot 5^2 $

Г) $ \sqrt[5]{6^2} \cdot 3^7 \cdot \sqrt[5]{6^3} \cdot 3^3 $

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{3^3 \cdot 4^2} \cdot \sqrt[4]{4^6 \cdot 3^5}$, воспользуемся свойством произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.
Объединим оба выражения под один корень четвертой степени:
$\sqrt[4]{(3^3 \cdot 4^2) \cdot (4^6 \cdot 3^5)}$
Теперь сгруппируем множители с одинаковыми основаниями внутри корня, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\sqrt[4]{(3^3 \cdot 3^5) \cdot (4^2 \cdot 4^6)} = \sqrt[4]{3^{3+5} \cdot 4^{2+6}} = \sqrt[4]{3^8 \cdot 4^8}$
Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, перепишем выражение:
$\sqrt[4]{(3 \cdot 4)^8} = \sqrt[4]{12^8}$
Применим свойство корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:
$12^{8/4} = 12^2 = 144$
Ответ: 144

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{7^2 \cdot 2} \cdot \sqrt[3]{7^4 \cdot 2^2}$. Так как показатели корней одинаковы (кубический корень), мы можем их перемножить:
$\sqrt[3]{(7^2 \cdot 2) \cdot (7^4 \cdot 2^2)}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\sqrt[3]{(7^2 \cdot 7^4) \cdot (2^1 \cdot 2^2)} = \sqrt[3]{7^{2+4} \cdot 2^{1+2}} = \sqrt[3]{7^6 \cdot 2^3}$
Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[3]{7^6} \cdot \sqrt[3]{2^3}$
Упростим каждый множитель, используя $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:
$7^{6/3} \cdot 2^{3/3} = 7^2 \cdot 2^1 = 49 \cdot 2 = 98$
Ответ: 98

в) Выражение для упрощения: $\sqrt[6]{5^{10}} \cdot \sqrt[6]{2^{12} \cdot 5^2}$. Показатели корней равны 6, поэтому объединяем подкоренные выражения:
$\sqrt[6]{5^{10} \cdot (2^{12} \cdot 5^2)}$
Группируем степени с основанием 5:
$\sqrt[6]{(5^{10} \cdot 5^2) \cdot 2^{12}} = \sqrt[6]{5^{10+2} \cdot 2^{12}} = \sqrt[6]{5^{12} \cdot 2^{12}}$
Применяем свойство $(ab)^n = a^n b^n$ в обратном порядке:
$\sqrt[6]{(5 \cdot 2)^{12}} = \sqrt[6]{10^{12}}$
Упрощаем, используя $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:
$10^{12/6} = 10^2 = 100$
Ответ: 100

г) Упростим выражение $\sqrt[5]{6^2 \cdot 3^7} \cdot \sqrt[5]{6^3 \cdot 3^3}$. Показатели корней одинаковы, поэтому перемножим подкоренные выражения:
$\sqrt[5]{(6^2 \cdot 3^7) \cdot (6^3 \cdot 3^3)}$
Сгруппируем множители по основаниям:
$\sqrt[5]{(6^2 \cdot 6^3) \cdot (3^7 \cdot 3^3)} = \sqrt[5]{6^{2+3} \cdot 3^{7+3}} = \sqrt[5]{6^5 \cdot 3^{10}}$
Разобьем на произведение корней:
$\sqrt[5]{6^5} \cdot \sqrt[5]{3^{10}}$
Упростим каждый из них:
$6^{5/5} \cdot 3^{10/5} = 6^1 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54$
Ответ: 54