Номер 6.9, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.9, страница 36.

6.9. a) $(\sqrt[3]{3a})^9$;

б) $(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2$;

В) $(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2$;

Г) $(2\sqrt[3]{-3a^2})^5$.

а) $(\sqrt[3]{3a})^9$

Для решения воспользуемся свойством возведения корня в степень $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$, а также представим корень в виде степени с рациональным показателем $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

$(\sqrt[3]{3a})^9 = (3a)^{\frac{9}{3}} = (3a)^3$

Теперь применим свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.

$(3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$

Ответ: $27a^3$

б) $(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2$

Воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.

$(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2 = (-5)^2 \cdot (\sqrt[3]{a^2})^2$

Вычисляем квадрат первого множителя: $(-5)^2 = 25$.

Упрощаем второй множитель, используя свойство $(\sqrt[n]{x^m})^k = \sqrt[n]{x^{m \cdot k}}$:

$(\sqrt[3]{a^2})^2 = \sqrt[3]{(a^2)^2} = \sqrt[3]{a^4}$

Вынесем множитель из-под знака корня, представив $a^4$ как $a^3 \cdot a$:

$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a} = a\sqrt[3]{a}$

Объединяем полученные результаты:

$25 \cdot a\sqrt[3]{a} = 25a\sqrt[3]{a}$

Ответ: $25a\sqrt[3]{a}$

в) $(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2$

Применим свойство возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.

$(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2 = 5^2 \cdot a^2 \cdot (\sqrt[3]{a})^2$

Вычисляем $5^2 = 25$.

Упрощаем выражение с корнем: $(\sqrt[3]{a})^2 = \sqrt[3]{a^2}$.

Собираем все части вместе:

$25 \cdot a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2} = 25a^2\sqrt[3]{a^2}$

Ответ: $25a^2\sqrt[3]{a^2}$

г) $(2\sqrt[3]{-3a^2})^5$

Воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.

$(2\sqrt[3]{-3a^2})^5 = 2^5 \cdot (\sqrt[3]{-3a^2})^5$

Вычисляем $2^5 = 32$.

Теперь упростим второй множитель. Используем свойство $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$.

$(\sqrt[3]{-3a^2})^5 = \sqrt[3]{(-3a^2)^5} = \sqrt[3]{(-3)^5 \cdot (a^2)^5} = \sqrt[3]{-243 \cdot a^{10}}$

Вынесем множители из-под знака корня. Для этого представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся кубами чисел или переменных.

$\sqrt[3]{-243 \cdot a^{10}} = \sqrt[3]{(-27 \cdot 9) \cdot (a^9 \cdot a)} = \sqrt[3]{-27} \cdot \sqrt[3]{a^9} \cdot \sqrt[3]{9a}$

Вычисляем корни:

$\sqrt[3]{-27} = -3$

$\sqrt[3]{a^9} = a^{\frac{9}{3}} = a^3$

Таким образом, $\sqrt[3]{-243 a^{10}} = -3a^3\sqrt[3]{9a}$.

Перемножим полученные результаты:

$32 \cdot (-3a^3\sqrt[3]{9a}) = -96a^3\sqrt[3]{9a}$

Ответ: $-96a^3\sqrt[3]{9a}$