Номер 6.13, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.13, страница 36.

6.13. a) $\sqrt[3]{100 + 51\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}};$
б) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}};$
в) $\sqrt[3]{37 + 30\sqrt{3}} + \sqrt{61 - 28\sqrt{3}};$
г) $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt[3]{99 + 70\sqrt{2}}.$

а) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{100 + 51\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$. Упростим каждый член по отдельности.
Для первого члена $\sqrt[3]{100 + 51\sqrt{3}}$ будем искать его значение в виде $a + b\sqrt{3}$. Воспользуемся формулой куба суммы: $(a + b\sqrt{3})^3 = a^3 + 3a^2(b\sqrt{3}) + 3a(b\sqrt{3})^2 + (b\sqrt{3})^3 = (a^3 + 9ab^2) + (3a^2b + 3b^3)\sqrt{3}$.
Приравняв соответствующие части к $100 + 51\sqrt{3}$, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} a^3 + 9ab^2 = 100 \\ 3a^2b + 3b^3 = 51 \end{cases}$
Из второго уравнения $3b(a^2 + b^2) = 51$, или $b(a^2 + b^2) = 17$. Предполагая, что $a$ и $b$ — целые числа, и зная, что 17 — простое число, получаем $b=1$ и $a^2+b^2=17$. Отсюда $a^2+1^2=17 \implies a^2=16 \implies a=4$.
Проверим найденные значения в первом уравнении: $4^3 + 9 \cdot 4 \cdot 1^2 = 64 + 36 = 100$. Равенство выполняется.
Таким образом, $100 + 51\sqrt{3} = (4 + \sqrt{3})^3$, и $\sqrt[3]{100 + 51\sqrt{3}} = 4 + \sqrt{3}$.
Для второго члена $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ представим подкоренное выражение как квадрат разности:
$4 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3}-1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$, так как $\sqrt{3} > 1$.
Теперь найдем разность: $(4 + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - 1) = 4 + \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = 5$.
Ответ: 5.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}}$. Упростим каждый член по отдельности.
Для первого члена $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$, преобразуем его к виду $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$: $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{9 - 2\sqrt{4 \cdot 5}} = \sqrt{9 - 2\sqrt{20}}$.
Нам нужны два числа, сумма которых равна 9, а произведение 20. Это числа 5 и 4. Тогда:
$9 - 2\sqrt{20} = 5 - 2\sqrt{5 \cdot 4} + 4 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{4} + (\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}-2)^2$.
Значит, $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$, так как $\sqrt{5} \approx 2.23 > 2$.
Для второго члена $\sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}}$, представим $16 + 8\sqrt{5}$ в виде $(a+b\sqrt{5})^3$.
$(a+b\sqrt{5})^3 = (a^3+15ab^2) + (3a^2b+5b^3)\sqrt{5}$.
Получаем систему: $\begin{cases} a^3 + 15ab^2 = 16 \\ 3a^2b + 5b^3 = 8 \end{cases}$.
Из второго уравнения: $b(3a^2+5b^2)=8$. Пробуем целое значение $b=1$: $3a^2+5=8 \implies 3a^2=3 \implies a=1$.
Проверяем первое уравнение: $1^3+15 \cdot 1 \cdot 1^2 = 1+15=16$. Верно.
Следовательно, $16 + 8\sqrt{5} = (1 + \sqrt{5})^3$, и $\sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}} = 1 + \sqrt{5}$.
Вычислим исходное выражение: $(\sqrt{5} - 2) - (1 + \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 - 1 - \sqrt{5} = -3$.
Ответ: -3.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{37 + 30\sqrt{3}} + \sqrt{61 - 28\sqrt{3}}$. Упростим каждый член по отдельности.
Для первого члена $\sqrt[3]{37 + 30\sqrt{3}}$, представим $37 + 30\sqrt{3}$ в виде $(a+b\sqrt{3})^3$.
$(a+b\sqrt{3})^3 = (a^3+9ab^2) + (3a^2b+3b^3)\sqrt{3}$.
Получаем систему: $\begin{cases} a^3 + 9ab^2 = 37 \\ 3a^2b + 3b^3 = 30 \end{cases}$.
Из второго уравнения: $3b(a^2+b^2)=30 \implies b(a^2+b^2)=10$. Пробуем целое $b=2$: $2(a^2+4)=10 \implies a^2+4=5 \implies a^2=1 \implies a=1$.
Проверяем первое уравнение: $1^3+9 \cdot 1 \cdot 2^2 = 1+36=37$. Верно.
Следовательно, $37 + 30\sqrt{3} = (1 + 2\sqrt{3})^3$, и $\sqrt[3]{37 + 30\sqrt{3}} = 1 + 2\sqrt{3}$.
Для второго члена $\sqrt{61 - 28\sqrt{3}}$, преобразуем его к виду $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$: $\sqrt{61 - 2 \cdot 14\sqrt{3}} = \sqrt{61 - 2\sqrt{14^2 \cdot 3}} = \sqrt{61 - 2\sqrt{588}}$.
Нам нужны два числа, сумма которых равна 61, а произведение 588. Это числа 49 и 12 ($49 \cdot 12 = 588$, $49+12=61$). Тогда:
$61 - 2\sqrt{588} = 49 - 2\sqrt{49 \cdot 12} + 12 = (\sqrt{49}-\sqrt{12})^2 = (7-2\sqrt{3})^2$.
Значит, $\sqrt{61 - 28\sqrt{3}} = \sqrt{(7 - 2\sqrt{3})^2} = |7 - 2\sqrt{3}| = 7 - 2\sqrt{3}$, так как $7 > 2\sqrt{3}$ ($49 > 12$).
Вычислим сумму: $(1 + 2\sqrt{3}) + (7 - 2\sqrt{3}) = 1 + 2\sqrt{3} + 7 - 2\sqrt{3} = 8$.
Ответ: 8.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt[3]{99 + 70\sqrt{2}}$. Упростим каждый член по отдельности.
Для первого члена $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$, преобразуем его к виду $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$: $\sqrt{17 - 2 \cdot 6\sqrt{2}} = \sqrt{17 - 2\sqrt{36 \cdot 2}} = \sqrt{17 - 2\sqrt{72}}$.
Нам нужны два числа, сумма которых равна 17, а произведение 72. Это числа 9 и 8. Тогда:
$17 - 2\sqrt{72} = 9 - 2\sqrt{9 \cdot 8} + 8 = (\sqrt{9} - \sqrt{8})^2 = (3-2\sqrt{2})^2$.
Значит, $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{(3-2\sqrt{2})^2} = |3-2\sqrt{2}| = 3-2\sqrt{2}$, так как $3 > 2\sqrt{2}$ ($9>8$).
Для второго члена $\sqrt[3]{99 + 70\sqrt{2}}$, представим $99 + 70\sqrt{2}$ в виде $(a+b\sqrt{2})^3$.
$(a+b\sqrt{2})^3 = (a^3+6ab^2) + (3a^2b+2b^3)\sqrt{2}$.
Получаем систему: $\begin{cases} a^3 + 6ab^2 = 99 \\ 3a^2b + 2b^3 = 70 \end{cases}$.
Из второго уравнения: $b(3a^2+2b^2)=70$. Пробуем целое $b=2$: $2(3a^2+2 \cdot 2^2)=70 \implies 3a^2+8=35 \implies 3a^2=27 \implies a=3$.
Проверяем первое уравнение: $3^3+6 \cdot 3 \cdot 2^2 = 27+72=99$. Верно.
Следовательно, $99 + 70\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^3$, и $\sqrt[3]{99 + 70\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2}$.
Вычислим сумму: $(3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} = 6$.
Ответ: 6.