Номер 6.19, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.19, страница 37.

6.19. a) $\sqrt[4]{3b^3} \cdot \sqrt{3b}$

б) $\sqrt{2a} \cdot \sqrt[6]{4a^5}$

В) $\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{a^5}$

Г) $\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[6]{3y^3}$

а) Чтобы умножить корни с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Общий показатель для корня 4-й степени ($\sqrt[4]{3b^3}$) и квадратного корня ($\sqrt{3b}$, корень 2-й степени) — это наименьшее общее кратное их показателей, то есть НОК(4, 2) = 4.
Первый множитель уже имеет показатель 4.
Приведем второй множитель $\sqrt{3b}$ к показателю 4. Для этого нужно показатель корня (2) и степень подкоренного выражения (1) умножить на 2:
$\sqrt{3b} = \sqrt[2]{(3b)^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{(3b)^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{(3b)^2} = \sqrt[4]{9b^2}$.
Теперь можно перемножить корни с одинаковым показателем:
$\sqrt[4]{3b^3} \cdot \sqrt[4]{9b^2} = \sqrt[4]{(3b^3) \cdot (9b^2)} = \sqrt[4]{27b^{3+2}} = \sqrt[4]{27b^5}$.
Упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под знака корня. Представим $b^5$ как $b^4 \cdot b$:
$\sqrt[4]{27b^5} = \sqrt[4]{27 \cdot b^4 \cdot b} = \sqrt[4]{b^4} \cdot \sqrt[4]{27b} = b\sqrt[4]{27b}$.
(Данное преобразование справедливо при $b \ge 0$).
Ответ: $b\sqrt[4]{27b}$.

б) Требуется умножить $\sqrt{2a}$ (корень 2-й степени) и $\sqrt[6]{4a^5}$ (корень 6-й степени). Приведем их к общему показателю, равному НОК(2, 6) = 6.
Приведем первый множитель $\sqrt{2a}$ к показателю 6. Для этого показатель корня (2) и степень подкоренного выражения (1) умножим на 3:
$\sqrt{2a} = \sqrt[2]{(2a)^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{(2a)^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{(2a)^3} = \sqrt[6]{8a^3}$.
Второй множитель уже имеет показатель 6.
Выполним умножение:
$\sqrt[6]{8a^3} \cdot \sqrt[6]{4a^5} = \sqrt[6]{(8a^3) \cdot (4a^5)} = \sqrt[6]{32a^{3+5}} = \sqrt[6]{32a^8}$.
Упростим, вынеся множитель из-под знака корня. Представим $a^8$ как $a^6 \cdot a^2$:
$\sqrt[6]{32a^8} = \sqrt[6]{32 \cdot a^6 \cdot a^2} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{32a^2} = a\sqrt[6]{32a^2}$.
(Данное преобразование справедливо при $a \ge 0$).
Ответ: $a\sqrt[6]{32a^2}$.

в) Умножим $\sqrt{a}$ и $\sqrt[6]{a^5}$. Общий показатель корней — НОК(2, 6) = 6.
Приведем $\sqrt{a}$ к показателю 6:
$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{a^3}$.
Теперь выполним умножение:
$\sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{a^5} = \sqrt[6]{a^3 \cdot a^5} = \sqrt[6]{a^{3+5}} = \sqrt[6]{a^8}$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[6]{a^8} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a^2} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{a^2} = a\sqrt[6]{a^2}$.
Полученное выражение можно упростить, сократив показатель корня (6) и степень подкоренного выражения (2) на их общий делитель 2:
$a\sqrt[6]{a^2} = a\sqrt[6/2]{a^{2/2}} = a\sqrt[3]{a^1} = a\sqrt[3]{a}$.
(Данное преобразование справедливо при $a \ge 0$).
Ответ: $a\sqrt[3]{a}$.

г) Умножим $\sqrt[3]{y}$ и $\sqrt[6]{3y^3}$. Общий показатель корней — НОК(3, 6) = 6.
Приведем первый множитель $\sqrt[3]{y}$ к показателю 6:
$\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{y^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{y^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{y^2}$.
Второй множитель уже имеет показатель 6.
Выполним умножение:
$\sqrt[6]{y^2} \cdot \sqrt[6]{3y^3} = \sqrt[6]{y^2 \cdot 3y^3} = \sqrt[6]{3y^{2+3}} = \sqrt[6]{3y^5}$.
Степень подкоренного выражения (5) меньше показателя корня (6), поэтому вынести множитель или упростить корень дальше нельзя.
(Выражение определено при $y \ge 0$).
Ответ: $\sqrt[6]{3y^5}$.