Номер 6.25, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.25, страница 37.

6.25. Внесите переменные под знак корня:

a) $ad^2 \sqrt[4]{-ad^2}$;

б) $-p^3 q^8 \sqrt[8]{p^2 q}$;

в) $-mn^3 \sqrt[6]{-mn}$;

г) $xy \sqrt[4]{x^2 y^3}$.

а) Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, и умножить на подкоренное выражение. Для корней четной степени нужно учитывать знак множителя. В выражении $ad^2 \sqrt[4]{-ad^2}$ корень 4-й степени (четной). Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $-ad^2 \ge 0$. Поскольку $d^2$ всегда неотрицательно, это неравенство выполняется при $a \le 0$.
Множитель, который вносится под корень, это $ad^2$. Определим его знак: так как $a \le 0$ и $d^2 \ge 0$, то их произведение $ad^2 \le 0$.
При внесении отрицательного или равного нулю множителя $A$ под знак корня четной степени $n$, перед корнем ставится знак минус: $A\sqrt[n]{B} = -\sqrt[n]{(-A)^n B}$.Применим это правило:$ad^2 \sqrt[4]{-ad^2} = -\sqrt[4]{(-ad^2)^4 \cdot (-ad^2)} = -\sqrt[4]{(a^4d^8) \cdot (-ad^2)} = -\sqrt[4]{-a^{4+1}d^{8+2}} = -\sqrt[4]{-a^5d^{10}}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{-a^5d^{10}}$

б) В выражении $-p^3q \sqrt[8]{p^2q}$ корень 8-й степени (четной). ОДЗ: $p^2q \ge 0$. Так как $p^2 \ge 0$, отсюда следует, что $q \ge 0$.
Множитель, который нужно внести под корень, — это $p^3q$. Знак этого множителя зависит от знака $p$. Чтобы получить однозначный ответ, обычно предполагают, что полный множитель перед корнем неотрицателен. В данном случае это $-p^3q \ge 0$. Учитывая, что $q \ge 0$, это условие выполняется, если $-p^3 \ge 0 \implies p^3 \le 0 \implies p \le 0$.
При этом условии ($p \le 0, q \ge 0$) множитель $-p^3q$ неотрицателен, и мы можем внести его под корень, возведя в 8-ю степень:$-p^3q \sqrt[8]{p^2q} = \sqrt[8]{(-p^3q)^8 \cdot (p^2q)} = \sqrt[8]{p^{24}q^8 \cdot p^2q} = \sqrt[8]{p^{24+2}q^{8+1}} = \sqrt[8]{p^{26}q^9}$.
Ответ: $\sqrt[8]{p^{26}q^9}$

в) В выражении $-mn^3 \sqrt[6]{-mn}$ корень 6-й степени (четной). ОДЗ: $-mn \ge 0 \implies mn \le 0$. Это значит, что переменные $m$ и $n$ имеют противоположные знаки или одна из них равна нулю.
Множитель перед корнем — $-mn^3$. Определим его знак. Выражение $-mn^3$ можно представить как $(-mn)n^2$. Из ОДЗ мы знаем, что $-mn \ge 0$, а $n^2$ всегда неотрицательно. Произведение двух неотрицательных сомножителей также неотрицательно, поэтому $-mn^3 \ge 0$.
Так как множитель $-mn^3$ неотрицателен, вносим его под знак корня, возведя в 6-ю степень:$-mn^3 \sqrt[6]{-mn} = \sqrt[6]{(-mn^3)^6 \cdot (-mn)} = \sqrt[6]{(m^6n^{18}) \cdot (-mn)} = \sqrt[6]{-m^{6+1}n^{18+1}} = \sqrt[6]{-m^7n^{19}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{-m^7n^{19}}$

г) В выражении $xy\sqrt[4]{x^2y^3}$ корень 4-й степени (четной). ОДЗ: $x^2y^3 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$, то должно выполняться $y^3 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
Множитель, который вносится под корень, — $xy$. Его знак зависит от знака $x$, так как $y \ge 0$. Чтобы получить однозначный ответ, предположим, что множитель $xy$ неотрицателен: $xy \ge 0$. Учитывая, что $y \ge 0$, это условие выполняется, если $x \ge 0$.
При условии $x \ge 0$ и $y \ge 0$ множитель $xy$ неотрицателен, и мы можем внести его под знак корня:$xy\sqrt[4]{x^2y^3} = \sqrt[4]{(xy)^4 \cdot (x^2y^3)} = \sqrt[4]{(x^4y^4) \cdot (x^2y^3)} = \sqrt[4]{x^{4+2}y^{4+3}} = \sqrt[4]{x^6y^7}$.
Ответ: $\sqrt[4]{x^6y^7}$