Номер 6.22, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.22, страница 37.

6.22. a) $ \sqrt[6]{xy^2z^3} \cdot \sqrt[12]{x^3y^2z}; $

Б) $ \sqrt[3]{s^4p^3t^5} : \sqrt[15]{st^2}; $

В) $ \sqrt[4]{a^2bc^5} \cdot \sqrt[5]{a^3b^5c^2}; $

Г) $ \sqrt[9]{k^4l^3m^6} : \sqrt[3]{l^6m}. $

а) $\sqrt[6]{xy^2z^3} \cdot \sqrt[12]{x^3y^2z}$

Для умножения корней с разными показателями (6 и 12) необходимо привести их к общему наименьшему показателю. Наименьшее общее кратное для 6 и 12 равно 12.
Приведем первый корень к показателю 12, для этого показатель корня и показатель подкоренного выражения умножим на 2:
$\sqrt[6]{xy^2z^3} = \sqrt[6 \cdot 2]{(xy^2z^3)^2} = \sqrt[12]{x^2y^{2 \cdot 2}z^{3 \cdot 2}} = \sqrt[12]{x^2y^4z^6}$.
Теперь выполним умножение корней с одинаковым показателем 12. Для этого перемножим подкоренные выражения:
$\sqrt[12]{x^2y^4z^6} \cdot \sqrt[12]{x^3y^2z} = \sqrt[12]{(x^2y^4z^6) \cdot (x^3y^2z)}$.
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим выражение под корнем:
$\sqrt[12]{x^{2+3}y^{4+2}z^{6+1}} = \sqrt[12]{x^5y^6z^7}$.
Дальнейшее упрощение невозможно, так как нет общего делителя у показателя корня (12) и показателей степеней переменных (5, 6, 7), который был бы больше 1.

Ответ: $\sqrt[12]{x^5y^6z^7}$

б) $\sqrt[3]{s^4p^3t^5} : \sqrt[15]{st^2}$

Для выполнения деления приведем корни к общему показателю. НОК(3, 15) = 15.
Приведем первый корень к показателю 15, умножив показатель корня и степень подкоренного выражения на 5:
$\sqrt[3]{s^4p^3t^5} = \sqrt[3 \cdot 5]{(s^4p^3t^5)^5} = \sqrt[15]{s^{4 \cdot 5}p^{3 \cdot 5}t^{5 \cdot 5}} = \sqrt[15]{s^{20}p^{15}t^{25}}$.
Теперь выполним деление корней с одинаковым показателем 15. Для этого разделим подкоренные выражения:
$\sqrt[15]{s^{20}p^{15}t^{25}} : \sqrt[15]{st^2} = \sqrt[15]{\frac{s^{20}p^{15}t^{25}}{st^2}}$.
Используя свойство степеней $a^m / a^n = a^{m-n}$, упростим выражение под корнем:
$\sqrt[15]{s^{20-1}p^{15}t^{25-2}} = \sqrt[15]{s^{19}p^{15}t^{23}}$.
Упростим результат, вынеся множители из-под знака корня. Для этого представим степени в виде произведения:
$\sqrt[15]{s^{15}s^4 \cdot p^{15} \cdot t^{15}t^8} = s \cdot p \cdot t \cdot \sqrt[15]{s^4t^8} = pst\sqrt[15]{s^4t^8}$.

Ответ: $pst\sqrt[15]{s^4t^8}$

в) $\sqrt[4]{a^2bc^5} \cdot \sqrt[5]{a^3b^5c^2}$

Приведем корни к общему показателю. НОК(4, 5) = 20.
Приведем первый корень к показателю 20 (умножаем на 5):
$\sqrt[4]{a^2bc^5} = \sqrt[4 \cdot 5]{(a^2bc^5)^5} = \sqrt[20]{a^{10}b^5c^{25}}$.
Приведем второй корень к показателю 20 (умножаем на 4):
$\sqrt[5]{a^3b^5c^2} = \sqrt[5 \cdot 4]{(a^3b^5c^2)^4} = \sqrt[20]{a^{12}b^{20}c^8}$.
Перемножим полученные корни:
$\sqrt[20]{a^{10}b^5c^{25}} \cdot \sqrt[20]{a^{12}b^{20}c^8} = \sqrt[20]{a^{10+12}b^{5+20}c^{25+8}} = \sqrt[20]{a^{22}b^{25}c^{33}}$.
Упростим выражение, вынеся множители из-под знака корня:
$\sqrt[20]{a^{22}b^{25}c^{33}} = \sqrt[20]{(a^{20}a^2) \cdot (b^{20}b^5) \cdot (c^{20}c^{13})} = a \cdot b \cdot c \cdot \sqrt[20]{a^2b^5c^{13}} = abc\sqrt[20]{a^2b^5c^{13}}$.

Ответ: $abc\sqrt[20]{a^2b^5c^{13}}$

г) $\sqrt[9]{k^4l^3m^6} : \sqrt[3]{l^6m}$

Приведем корни к общему показателю. НОК(9, 3) = 9.
Приведем второй корень к показателю 9, умножив показатель корня и степень подкоренного выражения на 3:
$\sqrt[3]{l^6m} = \sqrt[3 \cdot 3]{(l^6m)^3} = \sqrt[9]{l^{18}m^3}$.
Выполним деление корней:
$\sqrt[9]{k^4l^3m^6} : \sqrt[9]{l^{18}m^3} = \sqrt[9]{\frac{k^4l^3m^6}{l^{18}m^3}}$.
Упростим подкоренное выражение:
$\sqrt[9]{\frac{k^4m^{6-3}}{l^{18-3}}} = \sqrt[9]{\frac{k^4m^3}{l^{15}}}$.
Упростим полученное выражение. Можно вынести $l$ из-под корня в знаменателе:
$\sqrt[9]{\frac{k^4m^3}{l^{15}}} = \frac{\sqrt[9]{k^4m^3}}{\sqrt[9]{l^{15}}} = \frac{\sqrt[9]{k^4m^3}}{\sqrt[9]{l^9 \cdot l^6}} = \frac{\sqrt[9]{k^4m^3}}{l\sqrt[9]{l^6}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[9]{l^3}$ (так как $l^6 \cdot l^3 = l^9$, и корень 9-й степени из $l^9$ извлекается):
$\frac{\sqrt[9]{k^4m^3}}{l\sqrt[9]{l^6}} \cdot \frac{\sqrt[9]{l^3}}{\sqrt[9]{l^3}} = \frac{\sqrt[9]{k^4m^3l^3}}{l\sqrt[9]{l^9}} = \frac{\sqrt[9]{k^4l^3m^3}}{l \cdot l} = \frac{\sqrt[9]{k^4l^3m^3}}{l^2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[9]{k^4l^3m^3}}{l^2}$