Номер 6.24, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.24, страница 37.

6.24. а) $\sqrt[3]{\sqrt{x}}$;

б) $\sqrt[3]{\sqrt{a^3}}$;

В) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{10}}}$;

Г) $\sqrt[3]{\sqrt{ab}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$, воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. В данном случае, показатель внешнего корня (квадратного) по умолчанию равен $2$, а показатель внутреннего (кубического) равен $3$.
Перемножим показатели корней: $2 \cdot 3 = 6$.
Таким образом, выражение преобразуется в корень 6-й степени из $x$.
$\sqrt{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[2 \cdot 3]{x} = \sqrt[6]{x}$.
Ответ: $\sqrt[6]{x}$.

б) Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{a^3}}$. Применим свойство корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. Показатели корней равны $3$ и $2$ (для квадратного корня).
$\sqrt[3]{\sqrt{a^3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{a^3} = \sqrt[6]{a^3}$.
Теперь можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель, равный 3. Это можно сделать, представив корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a^k} = a^{k/n}$.
$\sqrt[6]{a^3} = a^{3/6} = a^{1/2} = \sqrt{a}$.
Данное преобразование справедливо при $a \ge 0$, так как исходное выражение содержит $\sqrt{a^3}$.
Ответ: $\sqrt{a}$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{10}}}$. Используем то же свойство вложенных корней: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.
Перемножим показатели корней $5$ и $3$:
$\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{10}}} = \sqrt[5 \cdot 3]{a^{10}} = \sqrt[15]{a^{10}}$.
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, равный 5.
$\sqrt[15]{a^{10}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a^{2 \cdot 5}} = \sqrt[3]{a^2}$.
Альтернативно, через степени с рациональным показателем: $a^{10/15} = a^{2/3} = \sqrt[3]{a^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^2}$.

г) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[3]{ab}}$ снова применим свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$.
Показатель внешнего квадратного корня равен $2$, а внутреннего кубического — $3$.
Перемножаем показатели: $2 \cdot 3 = 6$.
$\sqrt{\sqrt[3]{ab}} = \sqrt[2 \cdot 3]{ab} = \sqrt[6]{ab}$.
Выражение определено при условии $ab \ge 0$, так как $\sqrt[3]{ab}$ находится под знаком квадратного корня.
Ответ: $\sqrt[6]{ab}$.