Номер 6.21, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.21, страница 37.

6.21. a) $\sqrt[4]{a^3} : \sqrt{a}$;

Б) $\sqrt[12]{a^2b^3} : \sqrt[6]{ab^4}$;

В) $\sqrt[6]{a^5} : \sqrt[4]{a}$;

Г) $\sqrt[4]{a^3b^5} : \sqrt[5]{ab}$.

а) $\sqrt[4]{a^3} : \sqrt{a}$

Чтобы выполнить деление корней с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Наименьший общий показатель для корней 4-й и 2-й степени равен их наименьшему общему кратному (НОК).

НОК(4, 2) = 4.

Первый корень $\sqrt[4]{a^3}$ уже имеет показатель 4. Приведем второй корень $\sqrt{a}$ к показателю 4. Для этого умножим показатель корня (2) и показатель степени подкоренного выражения (1) на 2:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{a^2}$.

Теперь можно выполнить деление корней с одинаковыми показателями, разделив их подкоренные выражения:

$\sqrt[4]{a^3} : \sqrt[4]{a^2} = \sqrt[4]{\frac{a^3}{a^2}} = \sqrt[4]{a^{3-2}} = \sqrt[4]{a}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a}$.

б) $\sqrt[12]{a^2b^3} : \sqrt[6]{ab^4}$

Приведем корни к общему показателю. НОК для показателей 12 и 6 равно 12.

Первый корень $\sqrt[12]{a^2b^3}$ уже имеет нужный показатель.

Приведем второй корень $\sqrt[6]{ab^4}$ к показателю 12. Для этого умножим показатель корня (6) и степень подкоренного выражения (1) на 2:

$\sqrt[6]{ab^4} = \sqrt[6 \cdot 2]{(ab^4)^2} = \sqrt[12]{a^2(b^4)^2} = \sqrt[12]{a^2b^8}$.

Выполним деление:

$\sqrt[12]{a^2b^3} : \sqrt[12]{a^2b^8} = \sqrt[12]{\frac{a^2b^3}{a^2b^8}} = \sqrt[12]{a^{2-2}b^{3-8}} = \sqrt[12]{a^0b^{-5}} = \sqrt[12]{\frac{1}{b^5}}$.

Ответ: $\sqrt[12]{\frac{1}{b^5}}$.

в) $\sqrt[6]{a^5} : \sqrt[4]{a}$

Приведем корни к общему показателю. НОК для показателей 6 и 4 равно 12.

Приведем первый корень $\sqrt[6]{a^5}$ к показателю 12, умножив показатель корня и степень подкоренного выражения на 2:

$\sqrt[6]{a^5} = \sqrt[6 \cdot 2]{a^{5 \cdot 2}} = \sqrt[12]{a^{10}}$.

Приведем второй корень $\sqrt[4]{a}$ к показателю 12, умножив показатель корня и степень подкоренного выражения на 3:

$\sqrt[4]{a} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{a^3}$.

Выполним деление:

$\sqrt[12]{a^{10}} : \sqrt[12]{a^3} = \sqrt[12]{\frac{a^{10}}{a^3}} = \sqrt[12]{a^{10-3}} = \sqrt[12]{a^7}$.

Ответ: $\sqrt[12]{a^7}$.

г) $\sqrt[4]{a^3b^5} : \sqrt[5]{ab}$

Приведем корни к общему показателю. НОК для показателей 4 и 5 равно 20.

Приведем первый корень к показателю 20, умножив показатель корня и степень подкоренного выражения на 5:

$\sqrt[4]{a^3b^5} = \sqrt[4 \cdot 5]{(a^3b^5)^5} = \sqrt[20]{(a^3)^5(b^5)^5} = \sqrt[20]{a^{15}b^{25}}$.

Приведем второй корень к показателю 20, умножив показатель корня и степень подкоренного выражения на 4:

$\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5 \cdot 4]{(ab)^4} = \sqrt[20]{a^4b^4}$.

Выполним деление:

$\sqrt[20]{a^{15}b^{25}} : \sqrt[20]{a^4b^4} = \sqrt[20]{\frac{a^{15}b^{25}}{a^4b^4}} = \sqrt[20]{a^{15-4}b^{25-4}} = \sqrt[20]{a^{11}b^{21}}$.

Можно упростить выражение, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt[20]{a^{11}b^{21}} = \sqrt[20]{a^{11} \cdot b^{20} \cdot b^1} = \sqrt[20]{b^{20}} \cdot \sqrt[20]{a^{11}b} = b\sqrt[20]{a^{11}b}$.

Ответ: $b\sqrt[20]{a^{11}b}$.