Номер 6.14, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.14, страница 36.

6.14. a) $\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}};$

б) $\sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45} - \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}};$

в) $\sqrt[3]{38 - 17\sqrt{5}} + \sqrt[3]{17\sqrt{5} + 38};$

г) $\sqrt[3]{170 + 78\sqrt{3}} - \sqrt[3]{78\sqrt{3} - 170}.$

а) $\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}$

Обозначим данное выражение через $x$:

$x = \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}$

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:

$x^3 = (\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}})^3 + (\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}})^3 + 3\sqrt[3]{(26 - 15\sqrt{3})(26 + 15\sqrt{3})}(\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}})$

Заметим, что выражение в скобках в правой части равно $x$. Упростим уравнение:

$x^3 = (26 - 15\sqrt{3}) + (26 + 15\sqrt{3}) + 3\sqrt[3]{26^2 - (15\sqrt{3})^2} \cdot x$

$x^3 = 52 + 3\sqrt[3]{676 - 225 \cdot 3} \cdot x$

$x^3 = 52 + 3\sqrt[3]{676 - 675} \cdot x$

$x^3 = 52 + 3\sqrt[3]{1} \cdot x$

Получаем кубическое уравнение:

$x^3 - 3x - 52 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена (-52): $\pm1, \pm2, \pm4, \pm13, \pm26, \pm52$.

Проверим $x=4$:

$4^3 - 3 \cdot 4 - 52 = 64 - 12 - 52 = 52 - 52 = 0$

Поскольку $x=4$ является корнем уравнения, а два других корня являются комплексными (что можно проверить, разделив многочлен на $(x-4)$), это единственное действительное решение. Исходное выражение является действительным числом, следовательно, оно равно 4.

Ответ: 4

б) $\sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45} - \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}}$

Перепишем выражение, вынеся знак минус из-под первого корня:

$\sqrt[3]{-(45 - 29\sqrt{2})} - \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}} = -\sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}} - \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}} = -(\sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}})$

Обозначим выражение в скобках через $x$:

$x = \sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}}$

Возведем обе части в куб:

$x^3 = (45 - 29\sqrt{2}) + (45 + 29\sqrt{2}) + 3\sqrt[3]{(45 - 29\sqrt{2})(45 + 29\sqrt{2})} \cdot x$

$x^3 = 90 + 3\sqrt[3]{45^2 - (29\sqrt{2})^2} \cdot x$

$x^3 = 90 + 3\sqrt[3]{2025 - 841 \cdot 2} \cdot x$

$x^3 = 90 + 3\sqrt[3]{2025 - 1682} \cdot x$

$x^3 = 90 + 3\sqrt[3]{343} \cdot x$

Так как $343 = 7^3$, то $\sqrt[3]{343}=7$.

$x^3 = 90 + 3 \cdot 7 \cdot x$

Получаем кубическое уравнение:

$x^3 - 21x - 90 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена (-90). Проверим $x=6$:

$6^3 - 21 \cdot 6 - 90 = 216 - 126 - 90 = 90 - 90 = 0$

Таким образом, $x=6$. Исходное выражение равно $-x$.

Ответ: -6

в) $\sqrt[3]{38 - 17\sqrt{5}} + \sqrt[3]{17\sqrt{5} + 38}$

Перепишем выражение в более удобном виде:

$\sqrt[3]{38 - 17\sqrt{5}} + \sqrt[3]{38 + 17\sqrt{5}}$

Обозначим данное выражение через $x$:

$x = \sqrt[3]{38 - 17\sqrt{5}} + \sqrt[3]{38 + 17\sqrt{5}}$

Возведем обе части уравнения в куб:

$x^3 = (38 - 17\sqrt{5}) + (38 + 17\sqrt{5}) + 3\sqrt[3]{(38 - 17\sqrt{5})(38 + 17\sqrt{5})} \cdot x$

$x^3 = 76 + 3\sqrt[3]{38^2 - (17\sqrt{5})^2} \cdot x$

$x^3 = 76 + 3\sqrt[3]{1444 - 289 \cdot 5} \cdot x$

$x^3 = 76 + 3\sqrt[3]{1444 - 1445} \cdot x$

$x^3 = 76 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot x$

$x^3 = 76 - 3x$

Получаем кубическое уравнение:

$x^3 + 3x - 76 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена (-76). Проверим $x=4$:

$4^3 + 3 \cdot 4 - 76 = 64 + 12 - 76 = 76 - 76 = 0$

Таким образом, $x=4$ является решением.

Ответ: 4

г) $\sqrt[3]{170 + 78\sqrt{3}} - \sqrt[3]{78\sqrt{3} - 170}$

Преобразуем второй член выражения:

$\sqrt[3]{78\sqrt{3} - 170} = \sqrt[3]{-(170 - 78\sqrt{3})} = -\sqrt[3]{170 - 78\sqrt{3}}$

Тогда исходное выражение примет вид:

$\sqrt[3]{170 + 78\sqrt{3}} - (-\sqrt[3]{170 - 78\sqrt{3}}) = \sqrt[3]{170 + 78\sqrt{3}} + \sqrt[3]{170 - 78\sqrt{3}}$

Обозначим полученное выражение через $x$:

$x = \sqrt[3]{170 + 78\sqrt{3}} + \sqrt[3]{170 - 78\sqrt{3}}$

Возведем обе части в куб:

$x^3 = (170 + 78\sqrt{3}) + (170 - 78\sqrt{3}) + 3\sqrt[3]{(170 + 78\sqrt{3})(170 - 78\sqrt{3})} \cdot x$

$x^3 = 340 + 3\sqrt[3]{170^2 - (78\sqrt{3})^2} \cdot x$

$x^3 = 340 + 3\sqrt[3]{28900 - 6084 \cdot 3} \cdot x$

$x^3 = 340 + 3\sqrt[3]{28900 - 18252} \cdot x$

$x^3 = 340 + 3\sqrt[3]{10648} \cdot x$

Найдем кубический корень из 10648. Так как $20^3=8000$ и $30^3=27000$, корень находится между 20 и 30. Поскольку число оканчивается на 8, его кубический корень должен оканчиваться на 2. Проверим 22: $22^3 = 10648$.

$x^3 = 340 + 3 \cdot 22 \cdot x$

$x^3 = 340 + 66x$

Получаем кубическое уравнение:

$x^3 - 66x - 340 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена (-340). Проверим $x=10$:

$10^3 - 66 \cdot 10 - 340 = 1000 - 660 - 340 = 1000 - 1000 = 0$

Таким образом, $x=10$ является решением.

Ответ: 10