Номер 6.10, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.10, страница 36.

Вычислите:

6.10. а) $\sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}}$

б) $\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}}$

в) $\sqrt[3]{8 - \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 + \sqrt{37}}$

г) $\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3}$

а)

Для вычисления произведения корней одной и той же степени воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt[4]{(6 + 2\sqrt{5})(6 - 2\sqrt{5})}$

Выражение под корнем представляет собой произведение суммы и разности двух выражений, которое равно разности их квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x=6$ и $y=2\sqrt{5}$.

$(6 + 2\sqrt{5})(6 - 2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - (4 \cdot (\sqrt{5})^2) = 36 - (4 \cdot 5) = 36 - 20 = 16$.

Таким образом, исходное выражение равно $\sqrt[4]{16}$.

Поскольку $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: 2

б)

Используем то же свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}} = \sqrt[5]{(6 - 2\sqrt{17})(6 + 2\sqrt{17})}$

Применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=6$ и $y=2\sqrt{17}$.

$(6 - 2\sqrt{17})(6 + 2\sqrt{17}) = 6^2 - (2\sqrt{17})^2 = 36 - (4 \cdot 17) = 36 - 68 = -32$.

Получаем выражение $\sqrt[5]{-32}$.

Так как корень нечетной степени из отрицательного числа существует и $(-2)^5 = -32$, то $\sqrt[5]{-32} = -2$.

Ответ: -2

в)

Снова используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[3]{8 - \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} = \sqrt[3]{(8 - \sqrt{37})(8 + \sqrt{37})}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=8$ и $y=\sqrt{37}$.

$(8 - \sqrt{37})(8 + \sqrt{37}) = 8^2 - (\sqrt{37})^2 = 64 - 37 = 27$.

Имеем выражение $\sqrt[3]{27}$.

Поскольку $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3

г)

Применим свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} = \sqrt[3]{(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} - 3)}$

Используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=\sqrt{17}$ и $y=3$.

$(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} - 3) = (\sqrt{17})^2 - 3^2 = 17 - 9 = 8$.

В результате получаем $\sqrt[3]{8}$.

Поскольку $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: 2