Номер 6.16, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.16, страница 37.

6.16. а) $\sqrt{3}$; $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{7}$;

б) $\sqrt{2}$; $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{4}$;

в) $\sqrt{6}$; $\sqrt[4]{17}$ и $\sqrt[8]{40}$;

г) $\sqrt[5]{3}$; $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{100}$.

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{7}$, необходимо привести их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 2, 3 и 6 равно 6.

Приведем каждый корень к показателю 6:

$\sqrt{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 2]{4^2} = \sqrt[6]{16}$

Число $\sqrt[6]{7}$ уже имеет нужный показатель.

Теперь сравним подкоренные выражения: 7, 16 и 27. Поскольку функция $y=\sqrt[6]{x}$ является возрастающей, чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.

Так как $7 < 16 < 27$, то $\sqrt[6]{7} < \sqrt[6]{16} < \sqrt[6]{27}$.

Следовательно, $\sqrt[6]{7} < \sqrt[3]{4} < \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt[6]{7} < \sqrt[3]{4} < \sqrt{3}$.

б) Сравним числа $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{4}$. Приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 2, 3 и 4 равно 12.

Приведем каждый корень к показателю 12:

$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 6]{2^6} = \sqrt[12]{64}$

$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 4]{3^4} = \sqrt[12]{81}$

$\sqrt[4]{4} = \sqrt[4 \cdot 3]{4^3} = \sqrt[12]{64}$

Сравним подкоренные выражения: 64, 81 и 64.

Так как $64 = 64 < 81$, то $\sqrt[12]{64} = \sqrt[12]{64} < \sqrt[12]{81}$.

Следовательно, $\sqrt{2} = \sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt{2} = \sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$.

в) Сравним числа $\sqrt{6}$, $\sqrt[4]{17}$ и $\sqrt[8]{40}$. Приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 2, 4 и 8 равно 8.

Приведем каждый корень к показателю 8:

$\sqrt{6} = \sqrt[2 \cdot 4]{6^4} = \sqrt[8]{1296}$

$\sqrt[4]{17} = \sqrt[4 \cdot 2]{17^2} = \sqrt[8]{289}$

Число $\sqrt[8]{40}$ уже имеет нужный показатель.

Сравним подкоренные выражения: 1296, 289 и 40.

Так как $40 < 289 < 1296$, то $\sqrt[8]{40} < \sqrt[8]{289} < \sqrt[8]{1296}$.

Следовательно, $\sqrt[8]{40} < \sqrt[4]{17} < \sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt[8]{40} < \sqrt[4]{17} < \sqrt{6}$.

г) Сравним числа $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{100}$. Приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 5, 3 и 15 равно 15.

Приведем каждый корень к показателю 15:

$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27}$

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$

Число $\sqrt[15]{100}$ уже имеет нужный показатель.

Сравним подкоренные выражения: 27, 32 и 100.

Так как $27 < 32 < 100$, то $\sqrt[15]{27} < \sqrt[15]{32} < \sqrt[15]{100}$.

Следовательно, $\sqrt[5]{3} < \sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{100}$.

Ответ: $\sqrt[5]{3} < \sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{100}$.