Номер 6.18, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.18, страница 37.

Преобразуйте заданное выражение к виду $\sqrt[n]{A}$:

6.18. а) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2}$;

б) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}$;

в) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{3}$;

г) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[6]{3}$.

а) Чтобы умножить корни с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Для корней $\sqrt{2}$ (корень 2-й степени) и $\sqrt[4]{2}$ (корень 4-й степени) наименьший общий показатель равен 4.
Приведем первый множитель к знаменателю 4:
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 2]{2^2} = \sqrt[4]{4}$.
Теперь выполним умножение корней с одинаковым показателем:
$\sqrt{4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{4 \cdot 2} = \sqrt[4]{8}$.
Альтернативный способ заключается в использовании степеней с рациональным показателем:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{4} + \frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4]{8}$.
Ответ: $\sqrt[4]{8}$

б) Для умножения $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$ приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 2 и 3 равно 6.
Приведем каждый корень к показателю 6:
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$.
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$\sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{8 \cdot 9} = \sqrt[6]{72}$.
Ответ: $\sqrt[6]{72}$

в) Приведем множители $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[6]{3}$ к общему показателю. Наименьший общий показатель для 3 и 6 — это 6.
Приведем первый корень к показателю 6:
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.
Выполним умножение:
$\sqrt[6]{9} \cdot \sqrt[6]{3} = \sqrt[6]{9 \cdot 3} = \sqrt[6]{27}$.
Полученное выражение можно упростить:
$\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^{\frac{3}{6}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

г) Для умножения $\sqrt[4]{2}$ и $\sqrt[6]{3}$ найдем их общий показатель. Наименьшее общее кратное для 4 и 6 равно 12.
Приведем каждый корень к показателю 12:
$\sqrt[4]{2} = \sqrt[4 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[12]{8}$.
$\sqrt[6]{3} = \sqrt[6 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[12]{9}$.
Теперь перемножим их:
$\sqrt[12]{8} \cdot \sqrt[12]{9} = \sqrt[12]{8 \cdot 9} = \sqrt[12]{72}$.
Ответ: $\sqrt[12]{72}$