Номер 6.15, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.15, страница 37.

Приведите радикалы к одинаковому показателю корня:

6.15. а) $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[6]{3}$;

б) $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[3]{9}$;

в) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[12]{8}$;

г) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[5]{2}$.

Чтобы привести радикалы к одинаковому показателю корня, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей корней. Затем, используя основное свойство корня $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$, привести каждый радикал к этому общему показателю.

а) $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[6]{3}$

Показатели корней равны 3 и 6. Наименьшее общее кратное чисел 3 и 6 равно 6. Это будет новый общий показатель корня.

Приведем первый радикал $\sqrt[3]{2}$ к показателю 6. Для этого домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 2 ($6 / 3 = 2$): $\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^2} = \sqrt[6]{4}$.

Второй радикал $\sqrt[6]{3}$ уже имеет показатель 6, поэтому он остается без изменений.

Ответ: $\sqrt[6]{4}$ и $\sqrt[6]{3}$.

б) $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[3]{9}$

Показатели корней равны 4 и 3. Наименьшее общее кратное чисел 4 и 3 равно 12. Это будет новый общий показатель корня.

Приведем первый радикал $\sqrt[4]{5}$ к показателю 12. Для этого домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 3 ($12 / 4 = 3$): $\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$.

Приведем второй радикал $\sqrt[3]{9}$ к показателю 12. Для этого домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 4 ($12 / 3 = 4$): $\sqrt[3]{9} = \sqrt[3 \cdot 4]{9^4} = \sqrt[12]{6561}$.

Ответ: $\sqrt[12]{125}$ и $\sqrt[12]{6561}$.

в) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[12]{8}$

Показатели корней равны 4 и 12. Наименьшее общее кратное чисел 4 и 12 равно 12. Это будет новый общий показатель корня.

Приведем первый радикал $\sqrt[4]{7}$ к показателю 12. Для этого домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 3 ($12 / 4 = 3$): $\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[12]{343}$.

Второй радикал $\sqrt[12]{8}$ уже имеет показатель 12, поэтому он остается без изменений.

Ответ: $\sqrt[12]{343}$ и $\sqrt[12]{8}$.

г) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[5]{2}$

Показатели корней равны 3 и 5. Наименьшее общее кратное чисел 3 и 5 равно 15. Это будет новый общий показатель корня.

Приведем первый радикал $\sqrt[3]{3}$ к показателю 15. Для этого домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 5 ($15 / 3 = 5$): $\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 5]{3^5} = \sqrt[15]{243}$.

Приведем второй радикал $\sqrt[5]{2}$ к показателю 15. Для этого домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 3 ($15 / 5 = 3$): $\sqrt[5]{2} = \sqrt[5 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[15]{8}$.

Ответ: $\sqrt[15]{243}$ и $\sqrt[15]{8}$.