Номер 6.8, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.8, страница 36.

Возведите в степень:

6.8. а) $(\sqrt[n]{a})^n$;

б) $(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n}$;

в) $(\sqrt[p]{b})^p$;

г) $\left(\frac{1}{b}\sqrt[p]{b}\right)^{2p}$.

а) $(\sqrt[n]{a})^n$

По определению корня n-ой степени, корень n-ой степени из числа $a$ (обозначается как $\sqrt[n]{a}$) — это такое число, которое при возведении в степень $n$ дает в результате подкоренное выражение $a$. Следовательно, по определению:

$(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Другой способ решения — представить корень в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$:

$(\sqrt[n]{a})^n = (a^{\frac{1}{n}})^n$.

Далее, по свойству возведения степени в степень $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$, получаем:

$(a^{\frac{1}{n}})^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a^1 = a$.

Ответ: $a$.

б) $(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n}$

Для начала воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(x \cdot y)^k = x^k \cdot y^k$:

$(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n} = b^{2n} \cdot (\sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n}$.

Теперь упростим второй множитель. Представим корень в виде степени с рациональным показателем и используем свойство $ \frac{1}{x} = x^{-1} $:

$\sqrt[n]{\frac{1}{b}} = (\frac{1}{b})^{\frac{1}{n}} = (b^{-1})^{\frac{1}{n}} = b^{-\frac{1}{n}}$.

Возведем полученное выражение в степень $2n$, используя свойство $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$:

$(b^{-\frac{1}{n}})^{2n} = b^{-\frac{1}{n} \cdot 2n} = b^{-2}$.

Подставим упрощенное выражение обратно в исходное равенство и перемножим степени с одинаковым основанием по правилу $x^m \cdot x^k = x^{m+k}$:

$b^{2n} \cdot b^{-2} = b^{2n + (-2)} = b^{2n-2}$.

Ответ: $b^{2n-2}$.

в) $(\sqrt[p]{b})^p$

Это выражение полностью аналогично примеру а). По определению корня p-ой степени, результатом возведения корня p-ой степени из числа $b$ в степень $p$ будет само число $b$.

$(\sqrt[p]{b})^p = b$.

Используя степени с рациональным показателем:

$\sqrt[p]{b} = b^{\frac{1}{p}}$.

$(\sqrt[p]{b})^p = (b^{\frac{1}{p}})^p = b^{\frac{1}{p} \cdot p} = b^1 = b$.

Ответ: $b$.

г) $(\frac{1}{b} \sqrt[p]{b})^{2p}$

Сначала преобразуем выражение в скобках, представив все члены в виде степеней с основанием $b$:

$\frac{1}{b} = b^{-1}$

$\sqrt[p]{b} = b^{\frac{1}{p}}$

Тогда выражение в скобках будет: $b^{-1} \cdot b^{\frac{1}{p}}$. По свойству умножения степеней $x^m \cdot x^k = x^{m+k}$ получаем:

$b^{-1} \cdot b^{\frac{1}{p}} = b^{-1 + \frac{1}{p}}$.

Теперь возведем это выражение в степень $2p$, используя свойство $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$:

$(b^{-1 + \frac{1}{p}})^{2p} = b^{(-1 + \frac{1}{p}) \cdot 2p} = b^{-1 \cdot 2p + \frac{1}{p} \cdot 2p} = b^{-2p + 2} = b^{2-2p}$.

Ответ: $b^{2-2p}$.