Номер 6.1, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.1, страница 35.

Найдите значение числового выражения:

6.1. а) $\sqrt[4]{16 \cdot 0,0001}$; в) $\sqrt[5]{0,00032 \cdot 243}$;

б) $\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}}$; г) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{16 \cdot 0,0001}$, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Таким образом, выражение можно переписать как $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{0,0001}$. Найдём значение каждого корня по отдельности. Корень четвертой степени из 16 равен 2, так как $2^4 = 16$. Корень четвертой степени из 0,0001 равен 0,1, так как $(0,1)^4 = 0,0001$. Теперь перемножим полученные результаты: $2 \cdot 0,1 = 0,2$.
Ответ: 0,2.

б) Для выражения $\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}}$ применим свойство корня из произведения: $\sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{32}}$. Найдём значение каждого множителя. Корень пятой степени из 243 равен 3, поскольку $3^5 = 243$. Корень пятой степени из дроби $\frac{1}{32}$ равен $\frac{1}{2}$, поскольку $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$. Перемножив полученные значения, получаем: $3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5.

в) Вычислим значение выражения $\sqrt[5]{0,00032 \cdot 243}$, используя свойство корня из произведения: $\sqrt[5]{0,00032} \cdot \sqrt[5]{243}$. Корень пятой степени из 0,00032 равен 0,2, так как $(0,2)^5 = 0,00032$. Корень пятой степени из 243 равен 3, так как $3^5 = 243$. Умножим полученные результаты: $0,2 \cdot 3 = 0,6$.
Ответ: 0,6.

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$. Теперь необходимо извлечь корень пятой степени из дроби $\frac{243}{32}$. Используем свойство корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$: $\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$. Так как $3^5 = 243$ и $2^5 = 32$, получаем $\frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5.