Номер 6.2, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.2, страница 35.

6.2. a) $\sqrt[5]{48 \cdot 162}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{16}{0.0625}}$;

в) $\sqrt[4]{54 \cdot 24}$;

г) $\sqrt[6]{\frac{16}{0.25}}$.

а) $\sqrt[5]{48 \cdot 162}$

Для решения данного примера удобно разложить числа под корнем на простые множители, чтобы найти пятые степени чисел.

Разложим числа 48 и 162 на множители:

$48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$

$162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$

Теперь подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[5]{48 \cdot 162} = \sqrt[5]{(2^4 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3^4)}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[5]{(2^4 \cdot 2^1) \cdot (3^1 \cdot 3^4)} = \sqrt[5]{2^{4+1} \cdot 3^{1+4}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5}$

Далее воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ и свойством $\sqrt[n]{a^n} = a$:

$\sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{3^5} = 2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

б) $\sqrt[4]{\frac{16}{0,0625}}$

Для решения воспользуемся свойством корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[4]{\frac{16}{0,0625}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{0,0625}}$

Вычислим корень в числителе: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Для вычисления корня в знаменателе представим десятичную дробь 0,0625 в виде обыкновенной дроби или степени. Заметим, что $0,5^4 = (0,5^2)^2 = 0,25^2 = 0,0625$.

Следовательно, $\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{(0,5)^4} = 0,5$.

Теперь найдем частное полученных результатов:

$\frac{2}{0,5} = \frac{2}{1/2} = 2 \cdot 2 = 4$

Альтернативный способ — сначала выполнить деление под корнем:

$\frac{16}{0,0625} = \frac{16}{625/10000} = \frac{16 \cdot 10000}{625} = \frac{16 \cdot 16 \cdot 625}{625} = 16 \cdot 16 = 256$

Тогда $\sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{4^4} = 4$.

Ответ: 4

в) $\sqrt[4]{54 \cdot 24}$

Как и в пункте а), разложим подкоренные числа на множители для нахождения четвертых степеней.

Разложим числа 54 и 24 на множители:

$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[4]{54 \cdot 24} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3^3) \cdot (2^3 \cdot 3)}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[4]{(2 \cdot 2^3) \cdot (3^3 \cdot 3)} = \sqrt[4]{2^{1+3} \cdot 3^{3+1}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4}$

Используя свойства корня, получаем:

$\sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3)^4} = \sqrt[4]{6^4} = 6$

Ответ: 6

г) $\sqrt[6]{\frac{16}{0,25}}$

Сначала упростим выражение под корнем, выполнив деление.

Знаменатель $0,25$ равен обыкновенной дроби $\frac{1}{4}$.

$\frac{16}{0,25} = \frac{16}{1/4} = 16 \cdot 4 = 64$

Теперь исходное выражение можно переписать как:

$\sqrt[6]{64}$

Нужно найти число, которое при возведении в шестую степень дает 64. Таким числом является 2, так как $2^6 = 64$.

Следовательно, $\sqrt[6]{64} = 2$.

Ответ: 2