Номер 5.32, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.32, страница 34.

5.32. Постройте и прочитайте график функции:

а) $y = \begin{cases} 2x^2, \text{ если } x < 1 \\ \sqrt[4]{x+1}, \text{ если } x \ge 1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sqrt[5]{x+1}, \text{ если } x < 0 \\ 2x^2 + 1, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} \frac{3}{x}, \text{ если } x < 0 \\ 2\sqrt[3]{x}, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} 2\cos x, \text{ если } x < 0 \\ 2 - \sqrt[3]{x}, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x < 1 \\ \sqrt[4]{x} + 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Построение графика:
1. На промежутке $(-\infty, 1)$ строим график функции $y = 2x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Она растянута в 2 раза вдоль оси OY по сравнению с параболой $y=x^2$. Концевая точка этого участка при $x \to 1^-$ имеет координаты $(1, 2)$. Так как $x<1$, эта точка на графике будет выколотой (пустой кружок).
2. На промежутке $[1, +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt[4]{x} + 1$. Это график функции $y = \sqrt[4]{x}$, смещенный на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Начальная точка этого участка имеет координаты $(1, \sqrt[4]{1}+1)$, то есть $(1, 2)$. Эта точка на графике будет закрашенной.
Поскольку выколотая точка первого графика совпадает с начальной точкой второго, функция является непрерывной.

Чтение графика (свойства функции):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

4. Четность/нечетность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

5. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

7. Монотонность: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

8. Экстремумы: $x=0$ — точка минимума, $y_{min} = y(0) = 0$.

Ответ: График функции состоит из ветви параболы $y=2x^2$ для $x<1$ и смещенного графика корня $y=\sqrt[4]{x}+1$ для $x \ge 1$. Функция непрерывна, определена для всех $x$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$. Убывает на $(-\infty, 0]$, возрастает на $[0, +\infty)$. Имеет точку минимума $(0, 0)$.

---

б) $y = \begin{cases} \sqrt[5]{x} + 1, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2 + 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:
1. На промежутке $(-\infty, 0)$ строим график функции $y = \sqrt[5]{x} + 1$. Это график функции $y = \sqrt[5]{x}$ (кубическая парабола, "лежащая на боку"), смещенный на 1 единицу вверх. Он проходит через точку $(-1, 0)$. В точке $x \to 0^-$ значение функции стремится к $1$. Точка $(0, 1)$ будет выколотой.
2. На промежутке $[0, +\infty)$ строим график функции $y = 2x^2 + 1$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх и растянуты в 2 раза вдоль оси OY. Начальная точка этого участка — $(0, 1)$ — закрашенная.
Графики "склеиваются" в точке $(0, 1)$, поэтому функция непрерывна.

Чтение графика (свойства функции):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

4. Четность/нечетность: Функция общего вида.

5. Нули функции: $y=0$ при $\sqrt[5]{x}+1=0 \implies x = -1$.

6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -1)$.

7. Монотонность: Функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

8. Экстремумы: Экстремумов нет.

Ответ: График состоит из смещенного графика корня пятой степени для $x<0$ и части параболы для $x \ge 0$. Функция непрерывна и строго возрастает на всей числовой прямой. Область определения и область значений - все действительные числа. Нуль функции в точке $x=-1$.

---

в) $y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x < 0 \\ 2\sqrt[3]{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:
1. На промежутке $(-\infty, 0)$ строим график функции $y = \frac{3}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. График имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$ и вертикальную асимптоту $x=0$ (слева), при этом $y \to -\infty$.
2. На промежутке $[0, +\infty)$ строим график функции $y = 2\sqrt[3]{x}$. Это график функции $y = \sqrt[3]{x}$, растянутый в 2 раза вдоль оси OY. Он начинается в точке $(0, 0)$ и возрастает.
В точке $x=0$ функция терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв), так как предел слева равен $-\infty$, а значение в точке равно $0$.

Чтение графика (свойства функции):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на промежутках $(-\infty, 0)$ и $[0, +\infty)$. В точке $x=0$ имеет разрыв второго рода.

4. Четность/нечетность: Функция общего вида.

5. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.

7. Монотонность: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0)$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

8. Экстремумы: $x=0$ — точка локального минимума, $y_{min} = y(0) = 0$.

9. Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$ (слева), горизонтальная асимптота $y=0$ (при $x \to -\infty$).

Ответ: График состоит из ветви гиперболы в третьей четверти для $x<0$ и растянутого графика кубического корня для $x \ge 0$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв. Область определения и значений - все действительные числа. Функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $[0, +\infty)$. Точка локального минимума $(0, 0)$.

---

г) $y = \begin{cases} 2\cos x, & \text{если } x < 0 \\ 2 - \sqrt[3]{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:
1. На промежутке $(-\infty, 0)$ строим график функции $y = 2\cos x$. Это косинусоида с амплитудой 2. Она колеблется между -2 и 2. В точке $x \to 0^-$ значение функции стремится к $2\cos(0)=2$. Точка $(0, 2)$ — выколотая.
2. На промежутке $[0, +\infty)$ строим график функции $y = 2 - \sqrt[3]{x}$. Это график функции $y=-\sqrt[3]{x}$, смещенный на 2 единицы вверх. Он начинается в точке $(0, 2 - \sqrt[3]{0})=(0, 2)$, которая является закрашенной, и монотонно убывает.
Графики "склеиваются" в точке $(0, 2)$, функция непрерывна.

Чтение графика (свойства функции):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 2]$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

4. Четность/нечетность: Функция общего вида.

5. Нули функции: При $x < 0$ нули находятся в точках $x = -\frac{\pi}{2} - k\pi$, где $k \in \{0, 1, 2, ...\}$. При $x \ge 0$ нуль находится в точке $x=8$ (решение уравнения $2-\sqrt[3]{x}=0$).

6. Промежутки знакопостоянства: Для $x \ge 0$, $y > 0$ на $[0, 8)$ и $y < 0$ на $(8, +\infty)$. Для $x < 0$ знаки чередуются в соответствии со знаком $\cos x$.

7. Монотонность: Функция немонотонна. На промежутке $[0, +\infty)$ функция убывает. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция периодически возрастает и убывает.

8. Экстремумы: $x=0$ — точка максимума, $y_{max} = 2$. Это глобальный максимум. При $x < 0$ имеются локальные максимумы $y=2$ в точках $x=-2k\pi$ и локальные минимумы $y=-2$ в точках $x=-(2k-1)\pi$ для $k \in \mathbb{N}$. Глобального минимума нет.

Ответ: График состоит из косинусоиды с амплитудой 2 для $x<0$ и убывающего графика $y=2-\sqrt[3]{x}$ для $x \ge 0$. Функция непрерывна, определена для всех $x$, область значений $E(y)=(-\infty, 2]$. Функция имеет глобальный максимум в точке $(0, 2)$.