Номер 5.29, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.29, страница 34.

5.29. Решите неравенство:

а) $\sqrt[4]{x+9} > x - 5;$

б) $2\sqrt[5]{x} \ge 5 - 3x;$

В) $\sqrt{-x} \le x + 6;$

Г) $\sqrt[3]{x-7} < 3x + 1.$

а) $\sqrt[4]{x+9} > x-5$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:
$x+9 \ge 0 \implies x \ge -9$.

2. Решим неравенство методом замены переменной. Пусть $y = \sqrt[4]{x+9}$. По определению корня, $y \ge 0$. Из замены выразим $x$:
$y^4 = x+9 \implies x = y^4 - 9$.

3. Подставим замену в исходное неравенство:
$y > (y^4-9) - 5$
$y > y^4 - 14$
$y^4 - y - 14 < 0$.

4. Найдем корни многочлена $f(y) = y^4 - y - 14$. Проверим целые делители числа 14: $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.
$f(2) = 2^4 - 2 - 14 = 16 - 2 - 14 = 0$.
Значит, $y=2$ является корнем. Исследуем производную $f'(y) = 4y^3 - 1$. При $y > \sqrt[3]{1/4}$ функция возрастает. Так как мы ищем решения при $y \ge 0$, и мы нашли один положительный корень $y=2$, то других положительных корней нет.

5. Неравенство $y^4 - y - 14 < 0$ с учетом условия $y \ge 0$ выполняется на интервале $0 \le y < 2$.

6. Вернемся к переменной $x$:
$0 \le \sqrt[4]{x+9} < 2$.
Левая часть неравенства $\sqrt[4]{x+9} \ge 0$ выполняется для всех $x$ из ОДЗ.
Решим правую часть:
$\sqrt[4]{x+9} < 2$
Возведем обе части в 4-ю степень:
$x+9 < 2^4$
$x+9 < 16$
$x < 7$.

7. Найдем пересечение полученного решения $x < 7$ с ОДЗ $x \ge -9$.
Решением является интервал $[-9, 7)$.

Ответ: $x \in [-9, 7)$.

б) $2\sqrt[5]{x} \ge 5 - 3x$

1. ОДЗ: так как корень нечетной степени, $x$ может быть любым действительным числом, $x \in \mathbb{R}$.

2. Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства:
$f(x) = 2\sqrt[5]{x}$ - является монотонно возрастающей функцией на всей числовой оси.
$g(x) = 5 - 3x$ - является монотонно убывающей функцией на всей числовой оси.

3. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x)=g(x)$:
$2\sqrt[5]{x} = 5 - 3x$.
Методом подбора находим корень $x=1$:
Левая часть: $2\sqrt[5]{1} = 2$.
Правая часть: $5 - 3(1) = 2$.
Равенство выполняется, значит $x=1$ - единственный корень уравнения.

4. Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, при $x > 1$ будет выполняться $f(x) > g(x)$, а при $x < 1$ будет $f(x) < g(x)$. Нам нужно найти, где $f(x) \ge g(x)$. Это выполняется при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

в) $\sqrt{-x} \le x+6$

1. ОДЗ: $-x \ge 0 \implies x \le 0$.

2. Данное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} -x \ge 0 \\ x+6 \ge 0 \\ (\sqrt{-x})^2 \le (x+6)^2 \end{cases}$
Первое неравенство - это ОДЗ: $x \le 0$.
Второе неравенство требует, чтобы правая часть была неотрицательной (т.к. левая часть неотрицательна): $x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
Объединяя эти два условия, получаем, что решение нужно искать на отрезке $x \in [-6, 0]$.

3. Решаем третье неравенство системы (на отрезке $[-6, 0]$ можно возводить в квадрат):
$-x \le x^2 + 12x + 36$
$x^2 + 13x + 36 \ge 0$.

4. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 13x + 36=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -9$ и $x_2 = -4$.

5. Парабола $y = x^2 + 13x + 36$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 13x + 36 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -9] \cup [-4, +\infty)$.

6. Найдем пересечение этого решения с отрезком $x \in [-6, 0]$:
$((-\infty, -9] \cup [-4, +\infty)) \cap [-6, 0] = [-4, 0]$.

Ответ: $x \in [-4, 0]$.

г) $\sqrt[3]{x-7} < 3x+1$

1. ОДЗ: так как корень нечетной степени, $x \in \mathbb{R}$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{x-7}$. Тогда $y^3 = x-7 \implies x = y^3+7$.

3. Подставим в неравенство:
$y < 3(y^3+7)+1$
$y < 3y^3 + 21 + 1$
$3y^3 - y + 22 > 0$.

4. Найдем корни многочлена $f(y) = 3y^3 - y + 22$. Проверим целые делители свободного члена.
$f(-2) = 3(-2)^3 - (-2) + 22 = 3(-8) + 2 + 22 = -24 + 24 = 0$.
Значит, $y=-2$ - корень. Разделим многочлен на $(y+2)$:
$(3y^3 - y + 22) : (y+2) = 3y^2 - 6y + 11$.

5. Неравенство принимает вид:
$(y+2)(3y^2 - 6y + 11) > 0$.

6. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $3y^2 - 6y + 11$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 36 - 132 = -96$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $3>0$, то выражение $3y^2 - 6y + 11$ всегда положительно.

7. Следовательно, знак всего произведения зависит только от знака множителя $(y+2)$. Неравенство равносильно:
$y+2 > 0 \implies y > -2$.

8. Возвращаемся к переменной $x$:
$\sqrt[3]{x-7} > -2$.
Возведем обе части в куб:
$x-7 > (-2)^3$
$x-7 > -8$
$x > -1$.

Ответ: $x \in (-1, +\infty)$.