Номер 5.31, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.31, страница 34.

5.31. a) $\begin{cases} y = \sqrt[4]{x} - 1, \\ y = x^2 - 2x - 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \sqrt[5]{x}, \\ y = 2x^4 - 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 2\sqrt[3]{x}, \\ y = 10x - 16 - x^2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \sqrt[4]{x}, \\ y = (x + 3)^6 - 1. \end{cases}$

а)

Для нахождения точек пересечения графиков функций, приравняем их правые части:

$\sqrt[4]{x} - 1 = x^2 - 2x - 8$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется наличием корня четвертой степени, поэтому $x \ge 0$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$\sqrt[4]{x} - x^2 + 2x + 7 = 0$

Данное уравнение является трансцендентным и не имеет простого аналитического решения. Проанализируем поведение функций $f(x) = \sqrt[4]{x} - 1$ и $g(x) = x^2 - 2x - 8$ на ОДЗ.

Функция $f(x) = \sqrt[4]{x} - 1$ является возрастающей для всех $x \ge 0$.

Функция $g(x) = x^2 - 2x - 8$ — это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x = -\frac{-2}{2\cdot1} = 1$.

Сравним значения функций в некоторых точках:

• При $x=4$: $f(4) = \sqrt[4]{4} - 1 = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$, а $g(4) = 4^2 - 2(4) - 8 = 0$. Здесь $f(4) > g(4)$.
• При $x=5$: $f(5) = \sqrt[4]{5} - 1 \approx 1.495 - 1 = 0.495$, а $g(5) = 5^2 - 2(5) - 8 = 7$. Здесь $f(5) < g(5)$.

Поскольку функции непрерывны, а на концах отрезка $[4, 5]$ разность $f(x) - g(x)$ меняет знак, то на интервале $(4, 5)$ существует как минимум один корень. Более подробный анализ показывает, что корень единственный. Найти его точное значение стандартными алгебраическими методами невозможно, так как это требует решения уравнения высокой степени.

Ответ: система имеет одно решение, абсцисса которого лежит в интервале $(4, 5)$. Найти точное аналитическое решение стандартными методами невозможно.

б)

Приравняем правые части уравнений системы:

$\sqrt[5]{x} = 2x^4 - 5$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$ (корень нечетной степени определен для всех действительных чисел).

Это уравнение также не имеет простого аналитического решения. Проанализируем функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ и $g(x) = 2x^4 - 5$.

$f(x) = \sqrt[5]{x}$ — возрастающая функция на всей числовой оси.

$g(x) = 2x^4 - 5$ — четная функция, убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$.

Рассмотрим пересечение для $x > 0$. Обе функции возрастают.

• При $x=1$: $f(1) = 1$, $g(1) = 2(1)^4 - 5 = -3$. Здесь $f(1) > g(1)$.
• При $x=2$: $f(2) = \sqrt[5]{2} \approx 1.15$, $g(2) = 2(2)^4 - 5 = 27$. Здесь $f(2) < g(2)$.

Так как функции непрерывны, на интервале $(1, 2)$ есть корень.

Рассмотрим пересечение для $x < 0$. Функция $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, значит, они могут пересечься не более одного раза.

• При $x=-1$: $f(-1) = -1$, $g(-1) = 2(-1)^4 - 5 = -3$. Здесь $f(-1) > g(-1)$.
• При $x=-2$: $f(-2) = -\sqrt[5]{2} \approx -1.15$, $g(-2) = 2(-2)^4 - 5 = 27$. Здесь $f(-2) < g(-2)$.

Следовательно, на интервале $(-2, -1)$ также есть корень. Всего система имеет два решения.

Ответ: система имеет два решения. Абсцисса одного решения лежит в интервале $(-2, -1)$, другого — в интервале $(1, 2)$. Найти точные аналитические решения стандартными методами невозможно.

в)

Приравняем правые части уравнений:

$2^{\sqrt[3]{x}} = 10x - 16 - x^2$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Проанализируем функции. $f(x) = 2^{\sqrt[3]{x}}$ — монотонно возрастающая и всегда положительная функция.

$g(x) = -x^2 + 10x - 16$ — парабола с ветвями вниз. Ее вершина находится в точке $x=5$, $y_{max} = g(5) = 9$. Корни параболы $x_1=2$ и $x_2=8$. Функция $g(x)$ положительна только на интервале $(2, 8)$. Таким образом, решения могут существовать только в этом интервале.

Сравним значения функций на границах и в других точках интервала:

• При $x=2$: $f(2) = 2^{\sqrt[3]{2}} \approx 2.4$, $g(2) = 0$. Здесь $f(2) > g(2)$.
• При $x=5$: $f(5) = 2^{\sqrt[3]{5}} \approx 3.27$, $g(5) = 9$. Здесь $f(5) < g(5)$.
• При $x=8$: $f(8) = 2^{\sqrt[3]{8}} = 2^2 = 4$, $g(8) = 0$. Здесь $f(8) > g(8)$.

Из смены знака разности $f(x)-g(x)$ следует, что один корень находится на интервале $(2, 5)$, а второй — на интервале $(5, 8)$. Найти их точные значения стандартными методами невозможно.

Ответ: система имеет два решения. Абсцисса одного решения лежит в интервале $(2, 5)$, другого — в интервале $(5, 8)$. Найти точные аналитические решения стандартными методами невозможно.

г)

Приравняем правые части уравнений:

$\sqrt[4]{x} = (x+3)^6 - 1$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Проанализируем функции $f(x) = \sqrt[4]{x}$ и $g(x) = (x+3)^6 - 1$ на области определения. Обе функции являются монотонно возрастающими при $x \ge 0$.

Сравним значения функций в точке $x=0$:

$f(0) = \sqrt[4]{0} = 0$.

$g(0) = (0+3)^6 - 1 = 729 - 1 = 728$.

В начальной точке ОДЗ значение $g(x)$ намного больше значения $f(x)$.

Рассмотрим разность функций $h(x) = g(x) - f(x) = (x+3)^6 - 1 - \sqrt[4]{x}$ и найдем ее наименьшее значение при $x \ge 0$.

Производная $h'(x) = 6(x+3)^5 - \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$. При $x \to 0^+$, $h'(x) \to -\infty$. При больших $x$, $h'(x) > 0$. Это значит, что функция $h(x)$ сначала убывает, достигает точки минимума, а затем возрастает.

Найдем точку минимума $x_{min}$ из условия $h'(x)=0$, то есть $6(x+3)^5 = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$. Левая часть возрастает, а правая убывает, значит решение единственно. Это $x_{min}$ — очень малое положительное число. Можно показать, что $x_{min} < 1/100000$.

Найдем значение функции в точке минимума: $h(x_{min}) = (x_{min}+3)^6 - 1 - \sqrt[4]{x_{min}}$.

Так как $x_{min}$ очень мало, $x_{min}+3 \approx 3$, а $\sqrt[4]{x_{min}}$ - малое положительное число (меньше 1). Тогда $h(x_{min}) \approx 3^6 - 1 - \sqrt[4]{x_{min}} = 728 - \sqrt[4]{x_{min}} > 0$.

Поскольку наименьшее значение функции $h(x)$ на области $x \ge 0$ строго положительно, уравнение $h(x)=0$ не имеет решений. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: нет решений.