Номер 6.3, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.3, страница 35.

6.3. а) $\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{4}$;

б) $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}};$

в) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$;

г) $\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}}$.

а) Для вычисления произведения корней с одинаковыми показателями используется свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$. В данном случае показатель корня $n=4$.
Применяем это свойство к выражению $\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{4}$:
$\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{4 \cdot 4} = \sqrt[4]{16}$.
Далее, необходимо извлечь корень четвертой степени из 16. Искомое число — это число, которое при возведении в четвертую степень дает 16. Таким числом является 2, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Следовательно, $\sqrt[4]{16} = 2$.
Ответ: 2

б) Для вычисления частного корней с одинаковыми показателями используется свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. В данном случае показатель корня $n=5$.
Применим это свойство к выражению $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}}$:
$\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}} = \sqrt[5]{\frac{3}{96}}$.
Сократим дробь под знаком корня: $\frac{3}{96} = \frac{1}{32}$.
Получаем выражение: $\sqrt[5]{\frac{1}{32}}$.
Используя свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, получаем:
$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}}$.
Поскольку $\sqrt[5]{1} = 1$ и $\sqrt[5]{32} = 2$ (так как $2^5 = 32$), то результат равен $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Для вычисления произведения квадратных корней (корней с показателем 2) используется свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Применим это свойство к выражению $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$:
$\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100}$.
Квадратный корень из 100 равен 10, так как $10^2 = 100$.
Ответ: 10

г) Для вычисления частного корней с одинаковыми показателями используется свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. В данном случае показатель корня $n=4$.
Применим это свойство к выражению $\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}}$:
$\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}} = \sqrt[4]{\frac{1024}{4}}$.
Выполним деление под знаком корня: $1024 \div 4 = 256$.
Получаем выражение $\sqrt[4]{256}$.
Теперь необходимо найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 256. Таким числом является 4, так как $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256$.
Следовательно, $\sqrt[4]{256} = 4$.
Ответ: 4