Номер 6.6, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.6, страница 35.

6.6. a) $\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}}$

б) $\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}}$

в) $\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}}$

г) $\sqrt[5]{\frac{32a^5b^{10}}{243c^{15}}}$

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}}$, воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ (при $x \ge 0, y > 0$).

$\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}} = \frac{\sqrt{49a^4}}{\sqrt{169b^2}}$

Теперь упростим числитель и знаменатель по отдельности, используя свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ и правило извлечения корня из степени $\sqrt[n]{k^m} = k^{m/n}$.

Числитель: $\sqrt{49a^4} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a^4} = 7 \cdot a^{4/2} = 7a^2$.

Знаменатель: $\sqrt{169b^2} = \sqrt{169} \cdot \sqrt{b^2} = 13 \cdot |b|$. Мы используем модуль $|b|$, так как $b$ может быть отрицательным числом, но результат извлечения квадратного корня должен быть неотрицательным.

Собираем все вместе:

$\frac{7a^2}{13|b|}$

Ответ: $\frac{7a^2}{13|b|}$

б)

Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}}$. Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$.

$\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}} = \frac{\sqrt[4]{16a^4b^8}}{\sqrt[4]{c^{12}}}$

Упростим числитель и знаменатель.

Числитель: $\sqrt[4]{16a^4b^8} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^8} = 2 \cdot |a| \cdot b^{8/4} = 2|a|b^2$. Так как корень четной степени (4), для переменной $a$ в нечетной степени после извлечения корня ($\sqrt[4]{a^4} = a^1$) требуется модуль. Для $b^2$ модуль не нужен, так как $b^2$ всегда неотрицательно.

Знаменатель: $\sqrt[4]{c^{12}} = \sqrt[4]{(c^3)^4} = |c^3|$. Модуль необходим, так как корень четной степени, а $c^3$ может быть отрицательным.

Собираем все вместе:

$\frac{2|a|b^2}{|c^3|}$

Ответ: $\frac{2|a|b^2}{|c^3|}$

в)

Упростим выражение $\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}}$. Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$.

$\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}} = \frac{\sqrt[3]{27a^6}}{\sqrt[3]{64b^3}}$

Так как корень нечетной степени (кубический), знак выражения сохраняется, и модуль не используется.

Числитель: $\sqrt[3]{27a^6} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{a^6} = 3 \cdot a^{6/3} = 3a^2$.

Знаменатель: $\sqrt[3]{64b^3} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{b^3} = 4 \cdot b^{3/3} = 4b$.

Собираем все вместе:

$\frac{3a^2}{4b}$

Ответ: $\frac{3a^2}{4b}$

г)

Упростим выражение $\sqrt[5]{\frac{32a^5b^{10}}{243c^{15}}}$. Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$.

$\sqrt[5]{\frac{32a^5b^{10}}{243c^{15}}} = \frac{\sqrt[5]{32a^5b^{10}}}{\sqrt[5]{243c^{15}}}$

Корень нечетной степени (5), поэтому модуль не требуется.

Числитель: $\sqrt[5]{32a^5b^{10}} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{a^5} \cdot \sqrt[5]{b^{10}} = 2 \cdot a^{5/5} \cdot b^{10/5} = 2ab^2$.

Знаменатель: $\sqrt[5]{243c^{15}} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{c^{15}} = 3 \cdot c^{15/5} = 3c^3$.

Собираем все вместе:

$\frac{2ab^2}{3c^3}$

Ответ: $\frac{2ab^2}{3c^3}$