Номер 6.4, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.4, страница 35.

6.4. a) $\sqrt[4]{32 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{8 \cdot 27}$;

б) $\sqrt[5]{2^5 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{7^3}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Объединим выражения под один корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{32 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{8 \cdot 27} = \sqrt[4]{(32 \cdot 3) \cdot (8 \cdot 27)} = \sqrt[4]{32 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 27}$

Чтобы упростить извлечение корня, разложим числа под корнем на множители в виде степеней. Удобно представить их как степени простых чисел:

$32 = 2^5$

$8 = 2^3$

$27 = 3^3$

Подставим эти значения в наше выражение:

$\sqrt[4]{2^5 \cdot 3^1 \cdot 2^3 \cdot 3^3}$

Теперь сгруппируем множители с одинаковыми основаниями, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[4]{(2^5 \cdot 2^3) \cdot (3^1 \cdot 3^3)} = \sqrt[4]{2^{5+3} \cdot 3^{1+3}} = \sqrt[4]{2^8 \cdot 3^4}$

Далее применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ и свойство извлечения корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[4]{2^8} \cdot \sqrt[4]{3^4} = 2^{\frac{8}{4}} \cdot 3^{\frac{4}{4}} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

б) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство произведения корней с одинаковым показателем: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Так как оба корня имеют показатель 5, объединим подкоренные выражения:

$\sqrt[5]{2^5 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{7^3} = \sqrt[5]{(2^5 \cdot 7^2) \cdot 7^3}$

Сгруппируем степени с одинаковым основанием 7, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[5]{2^5 \cdot 7^{2+3}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 7^5}$

Используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{7^5}$

Так как показатель корня равен показателю степени подкоренного выражения ($\sqrt[n]{a^n} = a$), получаем:

$2 \cdot 7 = 14$.

Ответ: 14