Номер 5.34, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.34, страница 35.

5.34. Исследуйте функцию и постройте её график:

а) $y = \sqrt{4x^2 + 4x - 3}$;

б) $y = \sqrt{2 + 3x - 2x^2}$;

в) $y = \sqrt{2x^2 - x - 3}$;

г) $y = \sqrt{4 - 11x - 3x^2}$.

а) $y = \sqrt{4x^2 + 4x - 3}$

1. Область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4x^2 + 4x - 3 \ge 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 + 4x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-4 - 8}{8} = -\frac{12}{8} = -1.5$; $x_2 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$.

Ветви параболы $z = 4x^2 + 4x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1.5] \cup [0.5, \infty)$.

Область определения: $D(y) = (-\infty, -1.5] \cup [0.5, \infty)$.

2. Область значений функции.

Арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$. Минимальное значение $y=0$ достигается на границах области определения. При $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$.

Область значений: $E(y) = [0, \infty)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Ox$: $y=0 \implies \sqrt{4x^2 + 4x - 3} = 0 \implies x=-1.5$ и $x=0.5$. Точки пересечения: $(-1.5, 0)$ и $(0.5, 0)$.

С осью $Oy$: $x=0$. Точка $x=0$ не входит в область определения, следовательно, пересечения с осью $Oy$ нет.

4. Четность и нечетность.

Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем производную: $y' = (\sqrt{4x^2 + 4x - 3})' = \frac{8x+4}{2\sqrt{4x^2 + 4x - 3}} = \frac{4x+2}{\sqrt{4x^2 + 4x - 3}}$.

Производная равна нулю при $4x+2=0$, то есть $x=-0.5$. Эта точка не входит в область определения.

При $x \in (-\infty, -1.5)$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (0.5, \infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Точки минимума: $(-1.5, 0)$ и $(0.5, 0)$.

6. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты $y = kx + b$.

При $x \to +\infty$: $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2+4x-3}}{x} = \sqrt{4} = 2$.

$b = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2+4x-3} - 2x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x-3}{\sqrt{4x^2+4x-3}+2x} = \frac{4}{2+2} = 1$.

Асимптота $y = 2x+1$ при $x \to +\infty$.

При $x \to -\infty$: $k = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+4x-3}}{x} = -\sqrt{4} = -2$.

$b = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2+4x-3} + 2x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{4x-3}{\sqrt{4x^2+4x-3}-2x} = \frac{4}{-2-2} = -1$.

Асимптота $y = -2x-1$ при $x \to -\infty$.

7. Построение графика.

График функции — это верхняя часть гиперболы $y^2 = 4x^2 + 4x - 3$, или $\frac{(x+0.5)^2}{1} - \frac{y^2}{4} = 1$. График состоит из двух ветвей, начинающихся в точках $(-1.5, 0)$ и $(0.5, 0)$ и асимптотически приближающихся к прямым $y=2x+1$ и $y=-2x-1$.

Ответ: График функции представляет собой верхнюю часть гиперболы. Область определения: $(-\infty, -1.5] \cup [0.5, \infty)$. Область значений: $[0, \infty)$. Точки пересечения с осью Ox: $(-1.5, 0)$ и $(0.5, 0)$. Пересечения с осью Oy нет. Функция убывает на $(-\infty, -1.5]$ и возрастает на $[0.5, \infty)$. Точки минимума: $(-1.5, 0)$ и $(0.5, 0)$. Наклонные асимптоты: $y=2x+1$ при $x \to +\infty$ и $y=-2x-1$ при $x \to -\infty$.

б) $y = \sqrt{2 + 3x - 2x^2}$

1. Область определения функции.

$-2x^2 + 3x + 2 \ge 0 \implies 2x^2 - 3x - 2 \le 0$.

Корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25$. $x_1 = \frac{3-5}{4} = -0.5$, $x_2 = \frac{3+5}{4} = 2$.

Ветви параболы $z = 2x^2 - 3x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Область определения: $D(y) = [-0.5, 2]$.

2. Область значений функции.

$y \ge 0$. Подкоренное выражение — парабола с ветвями вниз, ее максимум достигается в вершине $x_v = -\frac{3}{2(-2)} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Максимальное значение подкоренного выражения: $2 + 3(0.75) - 2(0.75)^2 = 2 + 2.25 - 1.125 = 3.125 = \frac{25}{8}$.

Максимальное значение функции: $y_{max} = \sqrt{\frac{25}{8}} = \frac{5}{2\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4}$.

Область значений: $E(y) = [0, \frac{5\sqrt{2}}{4}]$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Ox$: $y=0 \implies x=-0.5$ и $x=2$. Точки: $(-0.5, 0)$ и $(2, 0)$.

С осью $Oy$: $x=0 \implies y = \sqrt{2}$. Точка: $(0, \sqrt{2})$.

4. Четность и нечетность.

Область определения $[-0.5, 2]$ несимметрична, функция общего вида.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Производная: $y' = \frac{3-4x}{2\sqrt{2+3x-2x^2}}$.

$y' = 0$ при $3-4x=0 \implies x=0.75$.

При $x \in [-0.5, 0.75)$, $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0.75, 2]$, $y' < 0$, функция убывает.

Точка максимума: $(0.75, \frac{5\sqrt{2}}{4})$. Точки минимума: $(-0.5, 0)$ и $(2, 0)$.

6. Асимптоты.

Область определения — конечный отрезок, асимптот нет.

7. Построение графика.

График функции — это верхняя половина эллипса $\frac{(x-0.75)^2}{(1.25)^2} + \frac{y^2}{(5\sqrt{2}/4)^2} = 1$, с центром в $(0.75, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой верхнюю половину эллипса. Область определения: $[-0.5, 2]$. Область значений: $[0, \frac{5\sqrt{2}}{4}]$. Точки пересечения с осями: $(-0.5, 0)$, $(2, 0)$, $(0, \sqrt{2})$. Функция возрастает на $[-0.5, 0.75]$ и убывает на $[0.75, 2]$. Точка максимума: $(0.75, \frac{5\sqrt{2}}{4})$. Асимптот нет.

в) $y = \sqrt{2x^2 - x - 3}$

1. Область определения функции.

$2x^2 - x - 3 \ge 0$.

Корни уравнения $2x^2 - x - 3 = 0$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25$. $x_1 = \frac{1-5}{4} = -1$, $x_2 = \frac{1+5}{4} = 1.5$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому $D(y) = (-\infty, -1] \cup [1.5, \infty)$.

2. Область значений функции.

$E(y) = [0, \infty)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Ox$: $y=0 \implies x=-1$ и $x=1.5$. Точки: $(-1, 0)$ и $(1.5, 0)$.

С осью $Oy$: $x=0$ не входит в область определения, пересечения нет.

4. Четность и нечетность.

Область определения несимметрична, функция общего вида.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Производная: $y' = \frac{4x-1}{2\sqrt{2x^2 - x - 3}}$.

$y'=0$ при $x=0.25$, но эта точка не входит в область определения.

При $x \in (-\infty, -1)$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (1.5, \infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Точки минимума: $(-1, 0)$ и $(1.5, 0)$.

6. Асимптоты.

Наклонные асимптоты $y = kx + b$.

При $x \to +\infty$: $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{2x^2-x-3}}{x} = \sqrt{2}$.

$b = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{2x^2-x-3} - \sqrt{2}x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x-3}{\sqrt{2x^2-x-3}+\sqrt{2}x} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Асимптота $y = \sqrt{2}x - \frac{\sqrt{2}}{4}$ при $x \to +\infty$.

При $x \to -\infty$: $k = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{2x^2-x-3}}{x} = -\sqrt{2}$.

$b = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{2x^2-x-3} + \sqrt{2}x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x-3}{\sqrt{2x^2-x-3}-\sqrt{2}x} = \frac{-1}{-2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Асимптота $y = -\sqrt{2}x + \frac{\sqrt{2}}{4}$ при $x \to -\infty$.

7. Построение графика.

График — верхняя часть гиперболы $y^2 = 2x^2 - x - 3$. Состоит из двух ветвей, начинающихся в точках $(-1, 0)$ и $(1.5, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой верхнюю часть гиперболы. Область определения: $(-\infty, -1] \cup [1.5, \infty)$. Область значений: $[0, \infty)$. Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(1.5, 0)$. Пересечения с осью Oy нет. Функция убывает на $(-\infty, -1]$ и возрастает на $[1.5, \infty)$. Точки минимума: $(-1, 0)$ и $(1.5, 0)$. Наклонные асимптоты: $y=\sqrt{2}x - \frac{\sqrt{2}}{4}$ при $x \to +\infty$ и $y=-\sqrt{2}x + \frac{\sqrt{2}}{4}$ при $x \to -\infty$.

г) $y = \sqrt{4 - 11x - 3x^2}$

1. Область определения функции.

$-3x^2 - 11x + 4 \ge 0 \implies 3x^2 + 11x - 4 \le 0$.

Корни уравнения $3x^2 + 11x - 4 = 0$: $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 169$. $x_1 = \frac{-11-13}{6} = -4$, $x_2 = \frac{-11+13}{6} = \frac{1}{3}$.

Область определения: $D(y) = [-4, \frac{1}{3}]$.

2. Область значений функции.

$y \ge 0$. Максимум подкоренного выражения достигается в вершине параболы $x_v = -\frac{-11}{2(-3)} = -\frac{11}{6}$.

Максимальное значение функции: $y_{max} = \sqrt{4 - 11(-\frac{11}{6}) - 3(-\frac{11}{6})^2} = \sqrt{\frac{169}{12}} = \frac{13}{2\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{6}$.

Область значений: $E(y) = [0, \frac{13\sqrt{3}}{6}]$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Ox$: $y=0 \implies x=-4$ и $x=\frac{1}{3}$. Точки: $(-4, 0)$ и $(\frac{1}{3}, 0)$.

С осью $Oy$: $x=0 \implies y = \sqrt{4} = 2$. Точка: $(0, 2)$.

4. Четность и нечетность.

Область определения $[-4, 1/3]$ несимметрична, функция общего вида.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Производная: $y' = \frac{-11-6x}{2\sqrt{4-11x-3x^2}}$.

$y' = 0$ при $-11-6x=0 \implies x = -\frac{11}{6}$.

При $x \in [-4, -\frac{11}{6})$, $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (-\frac{11}{6}, \frac{1}{3}]$, $y' < 0$, функция убывает.

Точка максимума: $(-\frac{11}{6}, \frac{13\sqrt{3}}{6})$.

6. Асимптоты.

Область определения — конечный отрезок, асимптот нет.

7. Построение графика.

График функции — это верхняя половина эллипса с центром в $(-\frac{11}{6}, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой верхнюю половину эллипса. Область определения: $[-4, \frac{1}{3}]$. Область значений: $[0, \frac{13\sqrt{3}}{6}]$. Точки пересечения с осями: $(-4, 0)$, $(\frac{1}{3}, 0)$, $(0, 2)$. Функция возрастает на $[-4, -\frac{11}{6}]$ и убывает на $[-\frac{11}{6}, \frac{1}{3}]$. Точка максимума: $(-\frac{11}{6}, \frac{13\sqrt{3}}{6})$. Асимптот нет.