Номер 5.28, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.28, страница 34.

5.28. a) $\sqrt{2x} = \frac{1}{x - 1} + 1;$

б) $\sqrt[3]{x} + 2x + 3 = 0;$

В) $\sqrt[4]{x} = 3 - 2x^3;$

Г) $\sqrt{3x - 2} = \frac{2}{x - 1}.$

а) $\sqrt{2x} = \frac{1}{x-1} + 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
Во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 1 \ne 0$, откуда $x \ne 1$.
В-третьих, так как квадратный корень всегда неотрицателен, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $\frac{1}{x-1} + 1 \ge 0$
$\frac{1 + (x-1)}{x-1} \ge 0$
$\frac{x}{x-1} \ge 0$
Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, 0] \cup (1, \infty)$.
Объединяя все три условия ($x \ge 0$, $x \ne 1$ и $x \in (-\infty, 0] \cup (1, \infty)$), получаем, что решения могут находиться только в множестве $\{0\} \cup (1, \infty)$.

2. Решим уравнение.
Сначала проверим значение $x=0$.
Левая часть: $\sqrt{2 \cdot 0} = 0$.
Правая часть: $\frac{1}{0-1} + 1 = -1 + 1 = 0$.
Так как $0=0$, $x=0$ является корнем уравнения.

Теперь решим уравнение для $x > 1$.
Преобразуем правую часть: $\sqrt{2x} = \frac{x}{x-1}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $2x = \left(\frac{x}{x-1}\right)^2$
$2x = \frac{x^2}{(x-1)^2}$
Так как мы рассматриваем случай $x > 1$, то $x \ne 0$, и мы можем разделить обе части на $x$: $2 = \frac{x}{(x-1)^2}$
$2(x-1)^2 = x$
$2(x^2 - 2x + 1) = x$
$2x^2 - 4x + 2 = x$
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

3. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x=0$ или $x>1$).
Корень $x_1 = 1/2$ не удовлетворяет условию $x > 1$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию $x > 1$.
Таким образом, уравнение имеет два корня: $x=0$ и $x=2$.

Ответ: $0; 2$.

б) $\sqrt[3]{x} + 2x + 3 = 0$

1. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x} + 2x + 3$. Область определения этой функции — все действительные числа ($D(f) = \mathbb{R}$).
2. Исследуем функцию на монотонность. Найдем ее производную: $f'(x) = (\sqrt[3]{x} + 2x + 3)' = (x^{1/3} + 2x + 3)' = \frac{1}{3}x^{-2/3} + 2 = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + 2$.
Для любого $x \ne 0$, выражение $\sqrt[3]{x^2}$ положительно, значит $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} > 0$.
Следовательно, $f'(x) > 2$ для всех $x$ из области определения производной. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.
3. Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. иметь корень) не более одного раза. Попробуем найти корень подбором.
Проверим $x = -1$:
$f(-1) = \sqrt[3]{-1} + 2(-1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$.
Таким образом, $x=-1$ является корнем уравнения.
4. Так как функция строго монотонна, других корней у уравнения нет.

Ответ: $-1$.

в) $\sqrt[4]{x} = 3 - 2x^3$

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем четвертой степени должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Также правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $3 - 2x^3 \ge 0$, что означает $2x^3 \le 3$, или $x \le \sqrt[3]{3/2}$.
Итак, ОДЗ: $0 \le x \le \sqrt[3]{1.5}$.

2. Рассмотрим две функции: $f(x) = \sqrt[4]{x}$ и $g(x) = 3 - 2x^3$.
Функция $f(x) = x^{1/4}$ является строго возрастающей на своей области определения $[0, \infty)$.
Найдем производную функции $g(x)$: $g'(x) = -6x^2$. На интервале $(0, \sqrt[3]{1.5}]$ производная $g'(x) < 0$, значит функция $g(x)$ является строго убывающей.
3. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Попробуем найти его подбором.
Проверим $x = 1$:
Левая часть: $\sqrt[4]{1} = 1$.
Правая часть: $3 - 2(1)^3 = 3 - 2 = 1$.
Так как $1=1$, $x=1$ является решением. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($0 \le 1 \le \sqrt[3]{1.5}$).
4. Поскольку мы доказали, что решение может быть только одно, то $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $1$.

г) $\sqrt{3x-2} = \frac{2}{x-1}$

1. Найдем ОДЗ.
Выражение под корнем: $3x - 2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$.
Знаменатель: $x - 1 \ne 0 \implies x \ne 1$.
Правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{2}{x-1} \ge 0$. Так как числитель $2 > 0$, то и знаменатель должен быть строго положительным: $x-1 > 0 \implies x > 1$.
Объединяя условия $x \ge 2/3$ и $x > 1$, получаем ОДЗ: $x \in (1, \infty)$.

2. Решим уравнение на интервале $(1, \infty)$. Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{3x-2})^2 = \left(\frac{2}{x-1}\right)^2$
$3x-2 = \frac{4}{(x-1)^2}$
$(3x-2)(x-1)^2 = 4$
$(3x-2)(x^2 - 2x + 1) = 4$
$3x^3 - 6x^2 + 3x - 2x^2 + 4x - 2 = 4$
$3x^3 - 8x^2 + 7x - 6 = 0$
3. Это кубическое уравнение. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Учитывая ОДЗ ($x > 1$), проверим $x=2$.
Подставим $x=2$ в уравнение: $3(2)^3 - 8(2)^2 + 7(2) - 6 = 3 \cdot 8 - 8 \cdot 4 + 14 - 6 = 24 - 32 + 14 - 6 = 38 - 38 = 0$.
Значит, $x=2$ является корнем.

4. Разделим многочлен $3x^3 - 8x^2 + 7x - 6$ на $(x-2)$, чтобы найти остальные корни.
$(3x^3 - 8x^2 + 7x - 6) \div (x-2) = 3x^2 - 2x + 3$.
Уравнение принимает вид: $(x-2)(3x^2 - 2x + 3) = 0$.
Теперь рассмотрим квадратное уравнение $3x^2 - 2x + 3 = 0$.
Найдем его дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 - 36 = -32$.
Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

5. Единственным действительным решением является $x=2$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($2 > 1$).

Ответ: $2$.