Номер 5.21, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.21, страница 33.

5.21. Найдите наименьшее значение функции:

а) $y = \sqrt[4]{x^2 - 6x + 8};$

б) $y = \sqrt[6]{x^2 + 6x + 13}.$

а) Дана функция $y = \sqrt[4]{x^2 - 6x + 8}$.
Функция корня четной степени $g(u) = \sqrt[4]{u}$ является монотонно возрастающей на своей области определения ($u \ge 0$). Это означает, что наименьшее значение функции $y$ будет достигаться тогда, когда подкоренное выражение $f(x) = x^2 - 6x + 8$ принимает свое наименьшее возможное неотрицательное значение.
Сначала найдем область определения функции $y$. Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 6x + 8 \ge 0$.
Решим уравнение $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Поскольку графиком функции $f(x)$ является парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется для $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$. Это и есть область определения исходной функции $y$.
Теперь нам нужно найти наименьшее значение выражения $f(x) = x^2 - 6x + 8$ на этой области определения. Вершина параболы $f(x)$ находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$. Точка $x=3$ не входит в область определения функции $y$.
На промежутке $(-\infty, 2]$ функция $f(x)$ убывает, а на промежутке $[4, \infty)$ — возрастает. Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения на области определения функции $y$ достигается в точках $x=2$ и $x=4$.
Вычислим значение $f(x)$ в этих точках: $f(2) = 2^2 - 6(2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$.
$f(4) = 4^2 - 6(4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0$.
Итак, наименьшее значение подкоренного выражения на области определения функции $y$ равно 0.
Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно: $y_{min} = \sqrt[4]{0} = 0$.
Ответ: 0.

б) Дана функция $y = \sqrt[6]{x^2 + 6x + 13}$.
Аналогично предыдущему пункту, функция $g(u) = \sqrt[6]{u}$ является возрастающей, поэтому наименьшее значение $y$ достигается при наименьшем значении подкоренного выражения $f(x) = x^2 + 6x + 13$.
Найдем наименьшее значение квадратичной функции $f(x) = x^2 + 6x + 13$. Ее график — парабола с ветвями вверх, значит, наименьшее значение достигается в вершине.
Абсцисса вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.
Найдем наименьшее значение, подставив $x_v$ в функцию $f(x)$: $f_{min} = f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 13 = 9 - 18 + 13 = 4$.
Поскольку наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$ равно 4, оно всегда положительно ($4 > 0$). Это означает, что область определения функции $y$ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Теперь найдем наименьшее значение функции $y$: $y_{min} = \sqrt[6]{f_{min}} = \sqrt[6]{4}$.
Упростим полученное значение: $\sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2} = 2^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2}$.