Номер 5.14, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.14, страница 32.

5.14. а) $y = \sqrt[4]{\frac{x-8}{3x+5}};$

б) $y = \sqrt[5]{\frac{1+9x}{4+3x}};$

В) $y = \sqrt[3]{\frac{12-5x}{7-2x}};$

Г) $y = \sqrt[6]{\frac{3-7x}{2x+9}}.$

а) Дана функция $y = \sqrt[4]{\frac{x - 8}{3x + 5}}$.

Область определения функции $D(y)$ — это множество всех значений $x$, при которых выражение под корнем четной степени (в данном случае, 4-й) является неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Это приводит к следующему неравенству:

$\frac{x - 8}{3x + 5} \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$.

Нуль знаменателя: $3x + 5 = 0 \implies 3x = -5 \implies x = -5/3$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Точка $x = 8$ будет закрашенной (включена в решение), так как неравенство нестрогое. Точка $x = -5/3$ будет выколотой (не включена в решение), так как она обращает знаменатель в ноль.

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -5/3)$, $(-5/3, 8]$ и $[8, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом из них.

- Для интервала $(-\infty, -5/3)$, возьмем $x = -2$. Получим $\frac{-2 - 8}{3(-2) + 5} = \frac{-10}{-1} = 10$, что больше 0. Знак «+».

- Для интервала $(-5/3, 8]$, возьмем $x = 0$. Получим $\frac{0 - 8}{3(0) + 5} = -\frac{8}{5}$, что меньше 0. Знак «-».

- Для интервала $[8, +\infty)$, возьмем $x = 10$. Получим $\frac{10 - 8}{3(10) + 5} = \frac{2}{35}$, что больше 0. Знак «+».

Мы ищем значения $x$, для которых выражение больше или равно нулю. Это соответствует интервалам со знаком «+».

Ответ: $D(y) = (-\infty, -5/3) \cup [8, +\infty)$.

б) Дана функция $y = \sqrt[5]{\frac{1 + 9x}{4 + 3x}}$.

Поскольку корень имеет нечетную степень (5-ю), подкоренное выражение может принимать любые действительные значения (положительные, отрицательные и ноль). Единственное ограничение для области определения этой функции — знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$4 + 3x \ne 0$

$3x \ne -4$

$x \ne -4/3$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -4/3$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -4/3) \cup (-4/3, +\infty)$.

в) Дана функция $y = \sqrt[3]{\frac{12 - 5x}{7 - 2x}}$.

Корень имеет нечетную степень (3-ю), поэтому подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничение накладывается только на знаменатель дроби, который не должен быть равен нулю.

Условие для области определения:

$7 - 2x \ne 0$

$7 \ne 2x$

$x \ne 7/2$ или $x \ne 3.5$

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел, за исключением $x = 3.5$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 3.5) \cup (3.5, +\infty)$.

г) Дана функция $y = \sqrt[6]{\frac{3 - 7x}{2x + 9}}$.

Так как корень имеет четную степень (6-ю), выражение под корнем должно быть неотрицательным. Знаменатель дроби также не должен равняться нулю.

Решим неравенство:

$\frac{3 - 7x}{2x + 9} \ge 0$

Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $3 - 7x = 0 \implies 7x = 3 \implies x = 3/7$.

Нуль знаменателя: $2x + 9 = 0 \implies 2x = -9 \implies x = -9/2 = -4.5$.

Отметим точки на числовой оси: $x = -4.5$ (выколотая) и $x = 3/7$ (закрашенная).

Получаем интервалы: $(-\infty, -4.5)$, $(-4.5, 3/7]$ и $[3/7, +\infty)$. Определим знак дроби на каждом интервале.

- Для интервала $(-\infty, -4.5)$, возьмем $x = -5$. Получим $\frac{3 - 7(-5)}{2(-5) + 9} = \frac{3+35}{-10+9} = \frac{38}{-1} < 0$. Знак «-».

- Для интервала $(-4.5, 3/7]$, возьмем $x = 0$. Получим $\frac{3 - 7(0)}{2(0) + 9} = \frac{3}{9} > 0$. Знак «+».

- Для интервала $[3/7, +\infty)$, возьмем $x = 1$. Получим $\frac{3 - 7(1)}{2(1) + 9} = \frac{-4}{11} < 0$. Знак «-».

Неравенство выполняется на интервале, где стоит знак «+».

Ответ: $D(y) = (-4.5, 3/7]$.