Номер 5.7, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.7, страница 31.

5.7. a) $y = 2 - 5 \cdot \sqrt[3]{x - 5};$

б) $y = 4 \cdot \sqrt[5]{2x + 4} - 1;$

В) $y = 4 - 2 \cdot \sqrt[4]{9 - x};$

Г) $y = 3 \cdot \sqrt[3]{3x - 6} + 1.$

а) $y = 2 - 5 \cdot \sqrt[3]{x-5}$

Область определения (D(y)):
Данная функция содержит корень нечетной (третьей) степени. Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Выражение $x-5$ определено для всех действительных чисел $x$. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Рассмотрим множество значений выражения $\sqrt[3]{x-5}$. Поскольку $x$ может принимать любые действительные значения, выражение $x-5$ также принимает любые значения на числовой оси. Это означает, что $\sqrt[3]{x-5}$ может принимать любые значения от $-\infty$ до $+\infty$. Пусть $t = \sqrt[3]{x-5}$, где $t \in (-\infty; +\infty)$. Тогда функция принимает вид $y = 2 - 5t$. Это линейная функция относительно $t$, область значений которой — все действительные числа. Следовательно, область значений исходной функции также является множеством всех действительных чисел.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = 4 \cdot \sqrt[5]{2x+4} - 1$

Область определения (D(y)):
Функция содержит корень нечетной (пятой) степени. Выражение под корнем нечетной степени определено для любых действительных чисел. Подкоренное выражение $2x+4$ определено для любых $x \in R$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Так как $x$ пробегает все действительные числа, выражение $2x+4$ также пробегает все действительные числа. Следовательно, $\sqrt[5]{2x+4}$ принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Обозначим $t = \sqrt[5]{2x+4}$, где $t \in (-\infty; +\infty)$. Функция примет вид $y = 4t - 1$. Это линейная функция от $t$. Поскольку область значений $t$ — это все действительные числа, область значений $y$ также будет множеством всех действительных чисел.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = 4 - 2 \cdot \sqrt[4]{9-x}$

Область определения (D(y)):
Функция содержит корень четной (четвертой) степени. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным. Таким образом, мы должны решить неравенство:
$9 - x \ge 0$
$9 \ge x$
$x \le 9$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 9]$.

Область значений (E(y)):
Арифметический корень четной степени по определению всегда неотрицателен. То есть, $\sqrt[4]{9-x} \ge 0$.
Умножим это неравенство на $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-2\sqrt[4]{9-x} \le 0$
Теперь прибавим 4 к обеим частям неравенства:
$4 - 2\sqrt[4]{9-x} \le 4$
Таким образом, $y \le 4$.
Максимальное значение $y=4$ достигается при $\sqrt[4]{9-x} = 0$, то есть при $x=9$. Когда $x \to -\infty$, выражение $9-x \to +\infty$, $\sqrt[4]{9-x} \to +\infty$, и $y = 4 - 2\sqrt[4]{9-x} \to -\infty$.
Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 4]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 9]$, область значений $E(y) = (-\infty; 4]$.

г) $y = 3 \cdot \sqrt[3]{3x-6} + 1$

Область определения (D(y)):
Функция содержит корень нечетной (третьей) степени, который определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Выражение $3x-6$ определено для всех $x \in R$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{3x-6}$. Поскольку $x$ может принимать любые действительные значения, выражение $3x-6$ также пробегает все действительные числа. Это означает, что $\sqrt[3]{3x-6}$ может принимать любые значения от $-\infty$ до $+\infty$. Обозначим $t = \sqrt[3]{3x-6}$, где $t \in (-\infty; +\infty)$. Тогда функция принимает вид $y = 3t + 1$. Это линейная функция относительно $t$, и так как $t$ может быть любым действительным числом, $y$ также может принимать любое действительное значение.
Следовательно, область значений функции — все действительные числа.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.