Номер 5.13, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.13, страница 32.

5.13. a) $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$;

б) $y = \sqrt[12]{15 - x^2 - 2x}$;

В) $y = \sqrt{x^2 - 8x + 12}$;

Г) $y = \sqrt[6]{4 - x^2 - 3x}$.

Данные задачи требуют найти область определения для каждой функции. Область определения функции, содержащей корень четной степени, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

а) $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$

Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$x^2 + 4x - 12 \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства сначала найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 8}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 8}{2} = 2$

Графиком функции $f(x) = x^2 + 4x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции неотрицательны на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

б) $y = \sqrt[12]{15 - x^2 - 2x}$

Поскольку корень имеет четную степень (12), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$15 - x^2 - 2x \ge 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы получить стандартный вид:

$x^2 + 2x - 15 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-2 - 8}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$

Графиком функции $f(x) = x^2 + 2x - 15$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) между корнями.

Следовательно, решением неравенства является отрезок: $x \in [-5, 3]$.

Ответ: $[-5, 3]$.

в) $y = \sqrt{x^2 - 8x + 12}$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 8x + 12 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 12. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Проверим через дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 = 4^2$

$x_1 = \frac{8 - 4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$

Парабола $f(x) = x^2 - 8x + 12$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Таким образом, область определения: $x \in (-\infty, 2] \cup [6, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 2] \cup [6, +\infty)$.

г) $y = \sqrt[6]{4 - x^2 - 3x}$

Корень имеет четную степень (6), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$4 - x^2 - 3x \ge 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 + 3x - 4 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -3, произведение равно -4. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Проверим через дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$

Парабола $f(x) = x^2 + 3x - 4$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Значения функции неположительны ($f(x) \le 0$) на отрезке между корнями.

Следовательно, область определения: $x \in [-4, 1]$.

Ответ: $[-4, 1]$.