Номер 5.20, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.20, страница 33.

5.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = \sqrt[5]{x}$:

а) на отрезке $[-1; 1];$

б) на луче $(-\infty; 1];$

в) на отрезке $[-32; 32];$

г) на луче $[2; +\infty).$

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[5]{x}$ на указанных промежутках, сначала исследуем её свойства.

Функция $y = \sqrt[5]{x}$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty; +\infty)$. Это функция корня нечетной степени, которая является строго возрастающей на всей своей области определения.

Докажем это с помощью производной. Представим функцию в виде $y = x^{1/5}$. Её производная: $y' = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{1/5-1} = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Выражение $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \ge 0$), поэтому и корень $\sqrt[5]{x^4}$ также неотрицателен. Производная $y'$ положительна для всех $x \neq 0$. В точке $x=0$ производная не определена (касательная к графику в этой точке вертикальна), но сама функция непрерывна. Поскольку производная положительна на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, функция $y=\sqrt[5]{x}$ строго возрастает на всей числовой оси.

Для строго возрастающей функции на отрезке $[a; b]$ наименьшее значение достигается на левом конце ($x=a$), а наибольшее — на правом ($x=b$).

а) на отрезке [-1; 1]

Так как функция строго возрастает, наименьшее значение она принимает в точке $x = -1$, а наибольшее — в точке $x = 1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = \sqrt[5]{-1} = -1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt[5]{1} = 1$.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1.

б) на луче (-∞; 1]

На данном луче функция строго возрастает. Наибольшее значение достигается на правом конце промежутка, в точке $x = 1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt[5]{1} = 1$.

При $x \to -\infty$, значения функции $y = \sqrt[5]{x}$ также стремятся к $-\infty$. Следовательно, наименьшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 1, наименьшего значения не существует.

в) на отрезке [-32; 32]

На отрезке $[-32; 32]$ функция строго возрастает. Наименьшее значение достигается в точке $x = -32$, а наибольшее — в точке $x = 32$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-32) = \sqrt[5]{-32} = \sqrt[5]{(-2)^5} = -2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(32) = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.

Ответ: наименьшее значение равно -2, наибольшее значение равно 2.

г) на луче [2; +∞)

На луче $[2; +\infty)$ функция строго возрастает. Наименьшее значение достигается на левом конце промежутка, в точке $x = 2$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = \sqrt[5]{2}$.

При $x \to +\infty$, значения функции $y = \sqrt[5]{x}$ также стремятся к $+\infty$. Следовательно, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $\sqrt[5]{2}$, наибольшего значения не существует.