Номер 5.15, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.15, страница 32.

5.15. a) $y = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt[8]{x^2 - 1};$

б) $y = \sqrt[6]{x^2 - 6x + 5} - \sqrt{x^2 - 3x};$

в) $y = \sqrt[12]{x^2 - 9} - \sqrt[10]{16 - x^2};$

г) $y = \sqrt[12]{15 - 2x - x^2} + \sqrt{x^2 + 6x + 8}.$

a) Область определения функции $y = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt[8]{x^2 - 1}$ находится из условия, что подкоренные выражения корней четной степени должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$25 - x^2 \ge 0$
$x^2 - 1 \ge 0$
Решим каждое неравенство по отдельности.
Первое неравенство: $25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25$. Это равносильно $-5 \le x \le 5$, то есть $x \in [-5; 5]$.
Второе неравенство: $x^2 - 1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1$. Это равносильно $x \le -1$ или $x \ge 1$, то есть $x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)$.
Областью определения функции является пересечение найденных множеств: $[-5; 5] \cap ((-\infty; -1] \cup [1; \infty))$.
Пересечение состоит из двух промежутков: $[-5; -1]$ и $[1; 5]$.
Ответ: $x \in [-5; -1] \cup [1; 5]$.

б) Для функции $y = \sqrt[6]{x^2 - 6x + 5} - \sqrt{x^2 - 3x}$ оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными, так как степени корней (6 и 2) четные. Составим систему неравенств:
$x^2 - 6x + 5 \ge 0$
$x^2 - 3x \ge 0$
Решим первое неравенство: $x^2 - 6x + 5 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1, x_2 = 5$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 1] \cup [5; \infty)$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 3x \ge 0 \implies x(x - 3) \ge 0$. Корни уравнения $x(x-3)=0$ равны $x_1 = 0, x_2 = 3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство справедливо при $x \in (-\infty; 0] \cup [3; \infty)$.
Найдем пересечение этих множеств: $((-\infty; 1] \cup [5; \infty)) \cap ((-\infty; 0] \cup [3; \infty))$.
Это дает нам объединение двух интервалов: $(-\infty; 0]$ и $[5; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; \infty)$.

в) Область определения функции $y = \sqrt[12]{x^2 - 9} - \sqrt[10]{16 - x^2}$ определяется системой неравенств, так как степени корней (12 и 10) четные:
$x^2 - 9 \ge 0$
$16 - x^2 \ge 0$
Решим первое неравенство: $x^2 - 9 \ge 0 \implies x^2 \ge 9$. Это выполняется при $x \le -3$ или $x \ge 3$, то есть $x \in (-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.
Решим второе неравенство: $16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16$. Это выполняется при $-4 \le x \le 4$, то есть $x \in [-4; 4]$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty; -3] \cup [3; \infty)) \cap [-4; 4]$.
Пересекая интервалы, получаем: $[-4; -3] \cup [3; 4]$.
Ответ: $x \in [-4; -3] \cup [3; 4]$.

г) Для функции $y = \sqrt[12]{15 - 2x - x^2} + \sqrt{x^2 + 6x + 8}$ выражения под корнями четной степени (12 и 2) должны быть неотрицательны. Составим систему неравенств:
$15 - 2x - x^2 \ge 0$
$x^2 + 6x + 8 \ge 0$
Решим первое неравенство: $15 - 2x - x^2 \ge 0 \implies x^2 + 2x - 15 \le 0$. Корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$ равны $x_1 = -5, x_2 = 3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [-5; 3]$.
Решим второе неравенство: $x^2 + 6x + 8 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 + 6x + 8 = 0$ равны $x_1 = -4, x_2 = -2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; -4] \cup [-2; \infty)$.
Найдем пересечение множеств решений: $[-5; 3] \cap ((-\infty; -4] \cup [-2; \infty))$.
Пересечение дает нам два интервала: $[-5; -4]$ и $[-2; 3]$.
Ответ: $x \in [-5; -4] \cup [-2; 3]$.