Номер 5.12, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.12, страница 32.

Найдите область определения функции:

5.12. a) $y = \sqrt{5x + 8} + \sqrt[4]{2x - 4}$;

б) $y = \sqrt[6]{2x + 1} - \sqrt[8]{5 - 10x}$;

в) $y = \sqrt[10]{3x - 12} - \sqrt[4]{2x - 1}$;

г) $y = \sqrt{8 - 16x} + \sqrt[12]{10x + 20}$.

а) $y = \sqrt{5x + 8} + \sqrt[4]{2x - 4}$

Область определения функции — это множество всех значений переменной $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция представляет собой сумму двух корней четной степени (квадратного и четвертой степени). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Следовательно, должны одновременно выполняться два условия, которые образуют систему неравенств:

$\begin{cases} 5x + 8 \ge 0 \\ 2x - 4 \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} 5x \ge -8 \\ 2x \ge 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -\frac{8}{5} \\ x \ge 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1.6 \\ x \ge 2 \end{cases}$

Общим решением системы является пересечение промежутков $[-1.6; +\infty)$ и $[2; +\infty)$. Наибольшее из чисел $-1.6$ и $2$ равно $2$, поэтому решение системы $x \ge 2$.

Ответ: $D(y) = [2; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[6]{2x + 1} - \sqrt[8]{5 - 10x}$

Функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны, так как оба корня имеют четные степени (6 и 8).

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ 5 - 10x \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x \ge -1 \\ -10x \ge -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -\frac{1}{2} \\ x \le \frac{-5}{-10} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -0.5 \\ x \le 0.5 \end{cases}$

Решением системы является пересечение промежутков $[-0.5; +\infty)$ и $(-\infty; 0.5]$, что соответствует отрезку $[-0.5; 0.5]$.

Ответ: $D(y) = [-0.5; 0.5]$.

в) $y = \sqrt[10]{3x - 12} - \sqrt[4]{2x - 1}$

Оба корня в выражении имеют четные степени (10 и 4), поэтому оба подкоренных выражения должны быть больше или равны нулю.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 12 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} 3x \ge 12 \\ 2x \ge 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 4 \\ x \ge \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 4 \\ x \ge 0.5 \end{cases}$

Пересечением множеств решений $x \ge 4$ и $x \ge 0.5$ является промежуток, где $x$ больше или равно 4.

Ответ: $D(y) = [4; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{8 - 16x} + \sqrt[12]{10x + 20}$

Поскольку оба корня имеют четные степени (2 и 12), оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

Запишем и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 8 - 16x \ge 0 \\ 10x + 20 \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} -16x \ge -8 \\ 10x \ge -20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le \frac{-8}{-16} \\ x \ge \frac{-20}{10} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 0.5 \\ x \ge -2 \end{cases}$

Решением системы является двойное неравенство $-2 \le x \le 0.5$, что соответствует отрезку $[-2; 0.5]$.

Ответ: $D(y) = [-2; 0.5]$.