Номер 5.5, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.5, страница 31.

№5.5.

a) $y = \sqrt[4]{x} + 1;$

В) $y = \sqrt[7]{x} - 3;$

б) $y = \sqrt[3]{x} - 4;$

Г) $y = \sqrt[4]{x} + \frac{1}{2}.$

а) $y = \sqrt[4]{x} + 1$

Областью определения функции называется множество всех допустимых значений аргумента $x$. Данная функция содержит корень четной степени (корень 4-й степени). По определению, выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным.

Подкоренное выражение в данном случае равно $x$. Следовательно, необходимо выполнить условие: $x \ge 0$.

Слагаемое $+1$ не влияет на область определения функции. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие или равные нулю.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[3]{x} - 4$

Данная функция содержит корень нечетной степени (корень 3-й степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа под корнем.

Подкоренное выражение равно $x$. Никаких ограничений на значения $x$ не накладывается. Вычитаемое $-4$ также не влияет на область определения.

Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[7]{x - 3}$

Данная функция содержит корень нечетной степени (корень 7-й степени). Корень нечетной степени можно извлекать из любого действительного числа, как положительного, так и отрицательного.

Подкоренное выражение $x - 3$ определено для любых действительных значений $x$. Следовательно, никаких ограничений на область определения функции нет.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[4]{x + \frac{1}{2}}$

Данная функция содержит корень четной степени (корень 4-й степени). Выражение, стоящее под знаком корня четной степени, должно быть неотрицательным.

Подкоренное выражение в данном случае равно $x + \frac{1}{2}$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $x + \frac{1}{2} \ge 0$.

Решим это линейное неравенство относительно $x$: $x \ge -\frac{1}{2}$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие или равные $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $D(y) = [-\frac{1}{2}; +\infty)$.