Номер 4.25, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.25, страница 30.

4.25. Расположите числа в порядке возрастания:

a) $\frac{\pi}{2}$, $\sqrt[5]{-12}$, 2, $\sqrt[6]{70}$;

б) $\frac{3}{\pi}$, $\sqrt[7]{\pi}$, 1, $\sqrt[5]{-\pi}$;

в) $\sqrt{2\pi}$, $\frac{\pi}{3}$, $\sqrt[3]{-2}$, 2,5;

г) $2\pi$, $\sqrt[5]{-0,5}$, 0, $\sqrt[3]{200}$.

а)

Для того чтобы расположить числа $\frac{\pi}{2}$, $\sqrt[5]{-12}$, $2$, $\sqrt[6]{70}$ в порядке возрастания, оценим их значения.

1. Число $\sqrt[5]{-12}$ — это единственное отрицательное число в наборе, так как корень нечетной степени (5) из отрицательного числа является отрицательным. Следовательно, это наименьшее число.

2. Теперь сравним положительные числа: $\frac{\pi}{2}$, $2$, $\sqrt[6]{70}$.
- Оценим $\frac{\pi}{2}$. Используя приближение $\pi \approx 3,14$, получаем $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$. Это значение меньше $2$. - Сравним $2$ и $\sqrt[6]{70}$. Для этого возведем оба числа в 6-ю степень, так как функция $y=x^6$ возрастает для положительных чисел:
$2^6 = 64$
$(\sqrt[6]{70})^6 = 70$
Поскольку $64 < 70$, то $2 < \sqrt[6]{70}$.

Таким образом, мы получили следующую последовательность неравенств для положительных чисел: $\frac{\pi}{2} < 2 < \sqrt[6]{70}$.

Располагая все числа в порядке возрастания, получаем: $\sqrt[5]{-12}$, $\frac{\pi}{2}$, $2$, $\sqrt[6]{70}$.

Ответ: $\sqrt[5]{-12}, \frac{\pi}{2}, 2, \sqrt[6]{70}$.

б)

Рассмотрим числа $\frac{3}{\pi}$, $\sqrt[7]{\pi}$, $1$, $\sqrt[5]{-\pi}$.

1. Число $\sqrt[5]{-\pi}$ — это отрицательное число, так как $\pi > 0$ и степень корня (5) нечетная. Все остальные числа положительны. Следовательно, $\sqrt[5]{-\pi}$ является наименьшим.

2. Сравним положительные числа: $\frac{3}{\pi}$, $1$, $\sqrt[7]{\pi}$.
- Сравним $\frac{3}{\pi}$ и $1$. Поскольку $\pi \approx 3,14 > 3$, то знаменатель дроби больше числителя, следовательно, $\frac{3}{\pi} < 1$. - Сравним $1$ и $\sqrt[7]{\pi}$. Поскольку $\pi > 1$, то корень любой натуральной степени из $\pi$ будет больше 1. То есть, $\sqrt[7]{\pi} > \sqrt[7]{1} = 1$.

Таким образом, мы установили порядок для положительных чисел: $\frac{3}{\pi} < 1 < \sqrt[7]{\pi}$.

Объединяя все числа, получаем итоговый порядок возрастания: $\sqrt[5]{-\pi}$, $\frac{3}{\pi}$, $1$, $\sqrt[7]{\pi}$.

Ответ: $\sqrt[5]{-\pi}, \frac{3}{\pi}, 1, \sqrt[7]{\pi}$.

в)

Расположим в порядке возрастания числа $\sqrt{2\pi}$, $\frac{\pi}{3}$, $\sqrt[3]{-2}$, $2,5$.

1. Число $\sqrt[3]{-2}$ является отрицательным, так как это корень нечетной степени из отрицательного числа. Остальные числа положительны, значит $\sqrt[3]{-2}$ — наименьшее.

2. Сравним положительные числа: $\sqrt{2\pi}$, $\frac{\pi}{3}$, $2,5$.
- Оценим $\frac{\pi}{3}$. Используя $\pi \approx 3,14$, получаем $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14}{3} \approx 1,047$. Это значение очевидно меньше, чем $2,5$. - Теперь сравним $2,5$ и $\sqrt{2\pi}$. Возведем оба числа в квадрат, так как функция $y=x^2$ возрастает для положительных чисел:
$(2,5)^2 = 6,25$
$(\sqrt{2\pi})^2 = 2\pi$
Для сравнения $6,25$ и $2\pi$ сравним $\frac{6,25}{2} = 3,125$ и $\pi$. Так как $\pi \approx 3,14159...$, то $\pi > 3,125$. Следовательно, $2\pi > 6,25$, и, значит, $\sqrt{2\pi} > 2,5$.

Порядок для положительных чисел: $\frac{\pi}{3} < 2,5 < \sqrt{2\pi}$.

Итоговая последовательность в порядке возрастания: $\sqrt[3]{-2}$, $\frac{\pi}{3}$, $2,5$, $\sqrt{2\pi}$.

Ответ: $\sqrt[3]{-2}, \frac{\pi}{3}, 2,5, \sqrt{2\pi}$.

г)

Рассмотрим числа $2\pi$, $\sqrt[5]{-0,5}$, $0$, $\sqrt[3]{200}$.

1. Определим знаки чисел. $\sqrt[5]{-0,5}$ — отрицательное число. $0$ — ноль. $2\pi$ и $\sqrt[3]{200}$ — положительные числа. Поэтому наименьшее число — $\sqrt[5]{-0,5}$, за ним следует $0$. Получаем: $\sqrt[5]{-0,5} < 0$.

2. Теперь сравним положительные числа: $2\pi$ и $\sqrt[3]{200}$.
Чтобы их сравнить, возведем оба числа в куб, так как функция $y=x^3$ возрастает для любых действительных чисел:
$(\sqrt[3]{200})^3 = 200$
$(2\pi)^3 = 8\pi^3$
Теперь нужно сравнить $200$ и $8\pi^3$, что эквивалентно сравнению $25$ и $\pi^3$. Возьмем приближенное значение $\pi > 3,1$. $3,1^3 = 29,791$. Поскольку $3,1 < \pi$, то $\pi^3 > 3,1^3 = 29,791$. Так как $29,791 > 25$, то $\pi^3 > 25$. Следовательно, $8\pi^3 > 200$, и, значит, $2\pi > \sqrt[3]{200}$.

Таким образом, порядок для положительных чисел: $\sqrt[3]{200} < 2\pi$.

Собирая все вместе, получаем итоговый ряд: $\sqrt[5]{-0,5}$, $0$, $\sqrt[3]{200}$, $2\pi$.

Ответ: $\sqrt[5]{-0,5}, 0, \sqrt[3]{200}, 2\pi$.