Номер 4.21, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.21, страница 30.

4.21. a) $\sqrt[3]{x^2 - 9x - 19} = -3$;

Б) $\sqrt[4]{x^2 - 10x + 25} = 2$;

В) $\sqrt[7]{2x^2 + 6x - 57} = -1$;

Г) $\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13} = 1$.

а) Исходное уравнение: $ \sqrt[3]{x^2 - 9x - 19} = -3 $.
Поскольку показатель корня — нечетное число (3), можно возвести обе части уравнения в третью степень без введения дополнительных ограничений. $ (\sqrt[3]{x^2 - 9x - 19})^3 = (-3)^3 $
$ x^2 - 9x - 19 = -27 $
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $ x^2 - 9x - 19 + 27 = 0 $
$ x^2 - 9x + 8 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{9 \pm 7}{2} $
$ x_1 = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 $
$ x_2 = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 $
Для корней нечетной степени проверка не требуется, так как возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием.
Ответ: $1; 8$.

б) Исходное уравнение: $ \sqrt[4]{x^2 - 10x + 25} = 2 $.
Заметим, что выражение под корнем представляет собой полный квадрат: $ x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 $. Уравнение принимает вид: $ \sqrt[4]{(x-5)^2} = 2 $. Поскольку корень четной степени, правая часть уравнения должна быть неотрицательной, что выполняется ($2 \ge 0$). Возведем обе части уравнения в четвертую степень: $ (\sqrt[4]{x^2 - 10x + 25})^4 = 2^4 $
$ x^2 - 10x + 25 = 16 $
Перенесем 16 в левую часть: $ x^2 - 10x + 25 - 16 = 0 $
$ x^2 - 10x + 9 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Следовательно, корни уравнения: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 9 $. Проверим, что подкоренное выражение $ x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 $ неотрицательно для найденных корней. Поскольку это полный квадрат, оно неотрицательно для любых значений $x$. Оба корня подходят.
Ответ: $1; 9$.

в) Исходное уравнение: $ \sqrt[7]{2x^2 + 6x - 57} = -1 $.
Показатель корня — нечетное число (7), поэтому можно возвести обе части уравнения в седьмую степень: $ (\sqrt[7]{2x^2 + 6x - 57})^7 = (-1)^7 $
$ 2x^2 + 6x - 57 = -1 $
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $ 2x^2 + 6x - 57 + 1 = 0 $
$ 2x^2 + 6x - 56 = 0 $
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: $ x^2 + 3x - 28 = 0 $
Решим полученное уравнение через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2} $
$ x_1 = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4 $
$ x_2 = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7 $
Поскольку степень корня нечетная, проверка не требуется.
Ответ: $-7; 4$.

г) Исходное уравнение: $ \sqrt[6]{x^2 + 7x + 13} = 1 $.
Поскольку корень четной степени, необходимо проверить область допустимых значений, то есть убедиться, что подкоренное выражение неотрицательно: $ x^2 + 7x + 13 \ge 0 $. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ x^2 + 7x + 13 $: $ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 49 - 52 = -3 $. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент (при $x^2$) положителен, то парабола $ y = x^2 + 7x + 13 $ полностью находится выше оси абсцисс, и, следовательно, выражение $ x^2 + 7x + 13 $ положительно при любых $x$. Теперь возведем обе части уравнения в шестую степень: $ (\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13})^6 = 1^6 $
$ x^2 + 7x + 13 = 1 $
Приведем уравнение к стандартному виду: $ x^2 + 7x + 12 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а их произведение равно 12. Корни: $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = -4 $. Оба корня принадлежат области допустимых значений.
Ответ: $-4; -3$.