Номер 5.2, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.2, страница 30.

5.2. a) $y = 2\sqrt[3]{x};$

б) $y = -\frac{1}{3}\sqrt[6]{x};$

В) $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x};$

Г) $y = 3\sqrt[4]{x}.$

а) $y = 2\sqrt[3]{x}$

Для нахождения производной функции $y = 2\sqrt[3]{x}$ сначала представим корень в виде степени с рациональным показателем: $y = 2x^{1/3}$.

Далее, применим правило дифференцирования степенной функции, которое гласит $(x^n)' = nx^{n-1}$, и правило вынесения постоянного множителя за знак производной:

$y' = (2x^{1/3})' = 2 \cdot (x^{1/3})' = 2 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{2}{3}x^{\frac{1-3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-2/3}$.

Теперь вернемся к записи с корнем, учитывая, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$:

$y' = \frac{2}{3x^{2/3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

б) $y = -\frac{1}{3}\sqrt[6]{x}$

Представим функцию в виде $y = -\frac{1}{3}x^{1/6}$.

Найдем производную, используя те же правила дифференцирования:

$y' = (-\frac{1}{3}x^{1/6})' = -\frac{1}{3} \cdot (x^{1/6})' = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6} - 1} = -\frac{1}{18}x^{\frac{1-6}{6}} = -\frac{1}{18}x^{-5/6}$.

Преобразуем выражение, вернувшись к корневой записи:

$y' = -\frac{1}{18x^{5/6}} = -\frac{1}{18\sqrt[6]{x^5}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{18\sqrt[6]{x^5}}$.

в) $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$

Сначала преобразуем функцию: $y = -\frac{1}{2}x^{1/3}$.

Дифференцируем функцию по правилу производной степенной функции:

$y' = (-\frac{1}{2}x^{1/3})' = -\frac{1}{2} \cdot (x^{1/3})' = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} = -\frac{1}{6}x^{\frac{1-3}{3}} = -\frac{1}{6}x^{-2/3}$.

Запишем результат с использованием знака корня:

$y' = -\frac{1}{6x^{2/3}} = -\frac{1}{6\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{6\sqrt[3]{x^2}}$.

г) $y = 3\sqrt[4]{x}$

Представим функцию в виде степени с рациональным показателем: $y = 3x^{1/4}$.

Применяем правила дифференцирования:

$y' = (3x^{1/4})' = 3 \cdot (x^{1/4})' = 3 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{3}{4}x^{\frac{1-4}{4}} = \frac{3}{4}x^{-3/4}$.

Преобразуем результат к виду с корнем:

$y' = \frac{3}{4x^{3/4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}$.