Номер 5.6, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.6, страница 31.

5.6. a) $y = \sqrt{x+2} - 3;$

б) $y = \sqrt[3]{x-1} + 2;$

в) $y = \sqrt[4]{x+1} + 3;$

г) $y = \sqrt[5]{x-4} - 4.$

а) $y = \sqrt{x + 2} - 3$

Для нахождения области определения функции $D(y)$ необходимо учесть, что выражение под знаком корня четной степени (в данном случае, квадратного) должно быть неотрицательным.

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-2; +\infty)$.

Для нахождения области значений функции $E(y)$ проанализируем саму функцию. Выражение $\sqrt{x+2}$ принимает только неотрицательные значения:

$\sqrt{x + 2} \ge 0$

Теперь вычтем 3 из обеих частей неравенства:

$\sqrt{x + 2} - 3 \ge -3$

Следовательно, $y \ge -3$. Область значений функции: $E(y) = [-3; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = [-2; +\infty)$; область значений: $E(y) = [-3; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[3]{x - 1} + 2$

Область определения функции $D(y)$. Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного числа. Поэтому подкоренное выражение $x-1$ может быть любым.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции $E(y)$. Функция $f(t) = \sqrt[3]{t}$ может принимать любые действительные значения. Добавление константы 2 к функции лишь сдвигает ее график вверх на 2 единицы, но не изменяет множество принимаемых значений.

Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[4]{x + 1} + 3$

Для нахождения области определения функции $D(y)$ учтем, что выражение под корнем четной степени (четвертой) должно быть неотрицательным.

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-1; +\infty)$.

Для нахождения области значений функции $E(y)$ заметим, что значение корня четвертой степени всегда неотрицательно:

$\sqrt[4]{x + 1} \ge 0$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$\sqrt[4]{x + 1} + 3 \ge 3$

Следовательно, $y \ge 3$. Область значений функции: $E(y) = [3; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = [-1; +\infty)$; область значений: $E(y) = [3; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[5]{x - 4} - 4$

Область определения функции $D(y)$. Корень нечетной степени (пятой) определен для любого действительного числа, поэтому выражение $x-4$ может быть любым.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции $E(y)$. Функция $f(t) = \sqrt[5]{t}$ принимает все действительные значения. Вычитание константы 4 из функции сдвигает ее график вниз на 4 единицы, но не изменяет множество значений.

Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.