Номер 5.4, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.4, страница 31.

5.4. a) $y = \sqrt[3]{-2x};$

б) $y = \sqrt[6]{-\frac{1}{2}x};$

В) $y = \sqrt[4]{-6x};$

Г) $y = \sqrt[5]{-\frac{1}{4}x}.$

а) $y = \sqrt[3]{-2x}$

Для нахождения области определения функции необходимо проанализировать выражение под знаком корня. Данная функция содержит корень нечетной степени (кубический корень, $n=3$). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Поскольку выражение $-2x$ определено для любого значения $x$, то и вся функция определена для любого действительного числа $x$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[6]{\frac{1}{2}x}$

Данная функция содержит корень четной степени (корень шестой степени, $n=6$). Корень четной степени определен только в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

Следовательно, необходимо решить неравенство:

$\frac{1}{2}x \ge 0$

Умножив обе части неравенства на 2, получим:

$x \ge 0$

Таким образом, область определения функции — это все неотрицательные действительные числа.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[4]{-6x}$

Данная функция содержит корень четной степени (корень четвертой степени, $n=4$). Как и в предыдущем случае, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$-6x \ge 0$

Разделим обе части неравенства на -6. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{0}{-6}$

$x \le 0$

Следовательно, область определения функции — это все неположительные действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0]$.

г) $y = \sqrt[5]{\frac{1}{4}x}$

Данная функция содержит корень нечетной степени (корень пятой степени, $n=5$). Корень нечетной степени, как и кубический корень, определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Выражение $\frac{1}{4}x$ определено для всех действительных чисел $x$, поэтому и область определения всей функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.