Номер 4.23, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.23, страница 30.

4.23. Расположите числа в порядке возрастания:

а) 2, $ \sqrt[3]{5} $, $ \sqrt[4]{17} $;

б) $ \sqrt[3]{75} $, 4, $ \sqrt[5]{1000} $;

в) 3, $ \sqrt[5]{40} $, $ \sqrt[3]{7} $;

г) 2, $ \sqrt[6]{60} $, $ \sqrt[4]{20} $.

Для того чтобы расположить числа, содержащие корни разных степеней, в порядке возрастания, необходимо привести все корни к одному показателю. Для этого находят наименьшее общее кратное (НОК) показателей всех корней, а затем преобразуют каждое число к корню с этим общим показателем.

а)

Сравним числа $2$, $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{17}$.
Показатели корней здесь 1 (для числа 2, которое можно записать как $2^1$), 3 и 4. Наименьшее общее кратное для 1, 3 и 4 равно 12. Приведем все числа к корню 12-й степени.

$2 = \sqrt[12]{2^{12}} = \sqrt[12]{4096}$

$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}$

$\sqrt[4]{17} = \sqrt[4 \cdot 3]{17^3} = \sqrt[12]{4913}$

Теперь сравним подкоренные выражения: $625 < 4096 < 4913$.
Следовательно, $\sqrt[12]{625} < \sqrt[12]{4096} < \sqrt[12]{4913}$, что соответствует исходным числам: $\sqrt[3]{5} < 2 < \sqrt[4]{17}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5}, 2, \sqrt[4]{17}$.

б)

Сравним числа $\sqrt[3]{75}$, $4$, $\sqrt[5]{1000}$.
В данном случае удобнее провести попарное сравнение, приводя числа к общему показателю корня в каждой паре.

1. Сравним $4$ и $\sqrt[3]{75}$. Приведем $4$ к кубическому корню:
$4 = \sqrt[3]{4^3} = \sqrt[3]{64}$.
Так как $64 < 75$, то $4 < \sqrt[3]{75}$.

2. Сравним $4$ и $\sqrt[5]{1000}$. Приведем $4$ к корню пятой степени:
$4 = \sqrt[5]{4^5} = \sqrt[5]{1024}$.
Так как $1000 < 1024$, то $\sqrt[5]{1000} < 4$.

3. Объединяя результаты, получаем: $\sqrt[5]{1000} < 4$ и $4 < \sqrt[3]{75}$.
Значит, итоговый порядок таков: $\sqrt[5]{1000} < 4 < \sqrt[3]{75}$.

Ответ: $\sqrt[5]{1000}, 4, \sqrt[3]{75}$.

в)

Сравним числа $3$, $\sqrt[5]{40}$, $\sqrt[3]{7}$.
Применим смешанный подход: сначала сравним корни, а затем результат сравним с целым числом.

1. Сравним $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[5]{40}$. НОК показателей 3 и 5 равно 15.
$\sqrt[3]{7} = \sqrt[15]{7^5} = \sqrt[15]{16807}$.
$\sqrt[5]{40} = \sqrt[15]{40^3} = \sqrt[15]{64000}$.
Поскольку $16807 < 64000$, то $\sqrt[3]{7} < \sqrt[5]{40}$.

2. Теперь сравним большее из этих двух чисел, $\sqrt[5]{40}$, с числом $3$. Приведем $3$ к корню пятой степени:
$3 = \sqrt[5]{3^5} = \sqrt[5]{243}$.
Так как $40 < 243$, то $\sqrt[5]{40} < 3$.

3. Из неравенств $\sqrt[3]{7} < \sqrt[5]{40}$ и $\sqrt[5]{40} < 3$ следует окончательный порядок: $\sqrt[3]{7} < \sqrt[5]{40} < 3$.

Ответ: $\sqrt[3]{7}, \sqrt[5]{40}, 3$.

г)

Сравним числа $2$, $\sqrt[6]{60}$, $\sqrt[4]{20}$.
Показатели корней 1, 6 и 4. НОК для этих чисел равно 12. Приведем все числа к корню 12-й степени.

$2 = \sqrt[12]{2^{12}} = \sqrt[12]{4096}$

$\sqrt[6]{60} = \sqrt[6 \cdot 2]{60^2} = \sqrt[12]{3600}$

$\sqrt[4]{20} = \sqrt[4 \cdot 3]{20^3} = \sqrt[12]{8000}$

Сравним подкоренные выражения: $3600 < 4096 < 8000$.
Следовательно, $\sqrt[12]{3600} < \sqrt[12]{4096} < \sqrt[12]{8000}$, что соответствует исходным числам: $\sqrt[6]{60} < 2 < \sqrt[4]{20}$.

Ответ: $\sqrt[6]{60}, 2, \sqrt[4]{20}$.