Номер 4.16, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.16, страница 29.

4.16. Между какими соседними целыми числами расположено число:

а) $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt[3]{-19}$;

в) $\sqrt[4]{52}$;

г) $\sqrt[5]{-670}$?

а) Чтобы найти, между какими соседними целыми числами расположено число $\sqrt{5}$, нужно найти два последовательных целых числа, квадраты которых "ограничивают" число 5. Рассмотрим квадраты целых чисел: $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$. Мы видим, что $4 < 5 < 9$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $2^2 < 5 < 3^2$. Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для $x > 0$, мы можем извлечь квадратный корень из всех частей неравенства, сохранив его знак: $\sqrt{2^2} < \sqrt{5} < \sqrt{3^2}$. Отсюда получаем $2 < \sqrt{5} < 3$. Таким образом, число $\sqrt{5}$ расположено между целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

б) Чтобы найти, между какими соседними целыми числами расположено число $\sqrt[3]{-19}$, нужно найти два последовательных целых числа, кубы которых "ограничивают" число -19. Так как подкоренное выражение отрицательное, результат будет отрицательным. Рассмотрим кубы отрицательных целых чисел: $(-1)^3 = -1$, $(-2)^3 = -8$, $(-3)^3 = -27$. Мы видим, что $-27 < -19 < -8$. Запишем это в виде двойного неравенства: $(-3)^3 < -19 < (-2)^3$. Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей на всей числовой оси, поэтому извлечение кубического корня из всех частей неравенства сохранит его знаки: $\sqrt[3]{(-3)^3} < \sqrt[3]{-19} < \sqrt[3]{(-2)^3}$. Отсюда получаем $-3 < \sqrt[3]{-19} < -2$. Таким образом, число $\sqrt[3]{-19}$ расположено между целыми числами -3 и -2.
Ответ: -3 и -2.

в) Чтобы найти, между какими соседними целыми числами расположено число $\sqrt[4]{52}$, нужно найти два последовательных целых числа, четвертые степени которых "ограничивают" число 52. Рассмотрим четвертые степени целых чисел: $1^4 = 1$, $2^4 = 16$, $3^4 = 81$. Мы видим, что $16 < 52 < 81$. Запишем это в виде двойного неравенства: $2^4 < 52 < 3^4$. Функция $y = \sqrt[4]{x}$ является возрастающей для $x > 0$, поэтому извлечение корня четвертой степени из всех частей неравенства сохранит его знак: $\sqrt[4]{2^4} < \sqrt[4]{52} < \sqrt[4]{3^4}$. Отсюда получаем $2 < \sqrt[4]{52} < 3$. Таким образом, число $\sqrt[4]{52}$ расположено между целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

г) Чтобы найти, между какими соседними целыми числами расположено число $\sqrt[5]{-670}$, нужно найти два последовательных целых числа, пятые степени которых "ограничивают" число -670. Так как подкоренное выражение отрицательное, результат будет отрицательным. Рассмотрим пятые степени отрицательных целых чисел: $(-1)^5 = -1$, $(-2)^5 = -32$, $(-3)^5 = -243$, $(-4)^5 = -1024$. Мы видим, что $-1024 < -670 < -243$. Запишем это в виде двойного неравенства: $(-4)^5 < -670 < (-3)^5$. Функция $y = \sqrt[5]{x}$ является возрастающей на всей числовой оси, поэтому извлечение корня пятой степени из всех частей неравенства сохранит его знаки: $\sqrt[5]{(-4)^5} < \sqrt[5]{-670} < \sqrt[5]{(-3)^5}$. Отсюда получаем $-4 < \sqrt[5]{-670} < -3$. Таким образом, число $\sqrt[5]{-670}$ расположено между целыми числами -4 и -3.
Ответ: -4 и -3.