Номер 4.15, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.15, страница 29.

4.15. Определите знак разности:

а) $\sqrt[3]{15} - \sqrt[4]{90};$

б) $3 - \sqrt[7]{150};$

в) $\sqrt[5]{40} - \sqrt[3]{50};$

г) $\sqrt[4]{300} - 5.$

а) Чтобы определить знак разности, необходимо сравнить числа $ \sqrt[3]{15} $ и $ \sqrt[4]{90} $. Для этого приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 3 и 4 равно 12. Возведем оба числа в 12-ю степень, так как для положительных чисел $a$ и $b$ неравенство $a < b$ равносильно неравенству $a^{12} < b^{12}$.
$ (\sqrt[3]{15})^{12} = 15^{\frac{12}{3}} = 15^4 $
$ (\sqrt[4]{90})^{12} = 90^{\frac{12}{4}} = 90^3 $
Теперь сравним полученные результаты:
$ 15^4 = (3 \cdot 5)^4 = 3^4 \cdot 5^4 = 81 \cdot 625 = 50625 $
$ 90^3 = (9 \cdot 10)^3 = 9^3 \cdot 10^3 = 729 \cdot 1000 = 729000 $
Так как $ 50625 < 729000 $, то $ 15^4 < 90^3 $, и, следовательно, $ \sqrt[3]{15} < \sqrt[4]{90} $.
Таким образом, разность $ \sqrt[3]{15} - \sqrt[4]{90} $ отрицательна.
Ответ: знак минус (–).

б) Чтобы определить знак разности, сравним числа 3 и $ \sqrt[7]{150} $. Представим число 3 в виде корня 7-й степени: $ 3 = \sqrt[7]{3^7} $.
Вычислим $ 3^7 $:
$ 3^7 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2187 $
Теперь сравним $ \sqrt[7]{2187} $ и $ \sqrt[7]{150} $.
Так как $ 2187 > 150 $, то $ \sqrt[7]{2187} > \sqrt[7]{150} $, а значит $ 3 > \sqrt[7]{150} $.
Следовательно, разность $ 3 - \sqrt[7]{150} $ положительна.
Ответ: знак плюс (+).

в) Чтобы определить знак разности, сравним числа $ \sqrt[5]{40} $ и $ \sqrt[3]{50} $. Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 5 и 3 равно 15. Возведем оба числа в 15-ю степень.
$ (\sqrt[5]{40})^{15} = 40^{\frac{15}{5}} = 40^3 $
$ (\sqrt[3]{50})^{15} = 50^{\frac{15}{3}} = 50^5 $
Теперь сравним полученные результаты:
$ 40^3 = 4^3 \cdot 10^3 = 64 \cdot 1000 = 64000 $
$ 50^5 = 5^5 \cdot 10^5 = 3125 \cdot 100000 = 312500000 $
Так как $ 64000 < 312500000 $, то $ 40^3 < 50^5 $, и, следовательно, $ \sqrt[5]{40} < \sqrt[3]{50} $.
Таким образом, разность $ \sqrt[5]{40} - \sqrt[3]{50} $ отрицательна.
Ответ: знак минус (–).

г) Чтобы определить знак разности, сравним числа $ \sqrt[4]{300} $ и 5. Представим число 5 в виде корня 4-й степени: $ 5 = \sqrt[4]{5^4} $.
Вычислим $ 5^4 $:
$ 5^4 = 625 $
Теперь сравним $ \sqrt[4]{300} $ и $ \sqrt[4]{625} $.
Так как $ 300 < 625 $, то $ \sqrt[4]{300} < \sqrt[4]{625} $, а значит $ \sqrt[4]{300} < 5 $.
Следовательно, разность $ \sqrt[4]{300} - 5 $ отрицательна.
Ответ: знак минус (–).