Номер 4.14, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.14, страница 29.

4.14. Подберите показатель корня $n$ так, чтобы выполнялось равенство:

а) $\sqrt[n]{117\,649} = 7;$

б) $\sqrt[n]{-12\frac{209}{243}} = -1\frac{2}{3};$

в) $\sqrt[n]{46\,656} = 6;$

г) $\sqrt[n]{3\frac{13}{81}} = 1\frac{1}{3}.$

а) Дано равенство $\sqrt[n]{117649} = 7$.
По определению корня n-й степени, это равенство эквивалентно следующему: $7^n = 117649$.
Чтобы найти $n$, будем последовательно возводить число 7 в натуральную степень:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 343$
$7^4 = 2401$
$7^5 = 16807$
$7^6 = 117649$
Таким образом, мы видим, что искомый показатель корня $n=6$.
Ответ: 6

б) Дано равенство $\sqrt[n]{-12\frac{209}{243}} = -1\frac{2}{3}$.
Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$-12\frac{209}{243} = -\frac{12 \cdot 243 + 209}{243} = -\frac{2916 + 209}{243} = -\frac{3125}{243}$
$-1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$
Теперь равенство выглядит так: $\sqrt[n]{-\frac{3125}{243}} = -\frac{5}{3}$.
По определению корня, это эквивалентно $(-\frac{5}{3})^n = -\frac{3125}{243}$.
Так как результат возведения в степень отрицательный, показатель степени $n$ должен быть нечетным числом. Проверим нечетные степени числа $-\frac{5}{3}$:
$(-\frac{5}{3})^1 = -\frac{5}{3}$
$(-\frac{5}{3})^3 = -\frac{5^3}{3^3} = -\frac{125}{27}$
$(-\frac{5}{3})^5 = -\frac{5^5}{3^5} = -\frac{3125}{243}$
Следовательно, показатель корня $n=5$.
Ответ: 5

в) Дано равенство $\sqrt[n]{46656} = 6$.
Это равенство можно переписать в виде $6^n = 46656$.
Найдем $n$ путем последовательного возведения числа 6 в натуральную степень:
$6^1 = 6$
$6^2 = 36$
$6^3 = 216$
$6^4 = 1296$
$6^5 = 7776$
$6^6 = 46656$
Отсюда следует, что показатель корня $n=6$.
Ответ: 6

г) Дано равенство $\sqrt[n]{3\frac{13}{81}} = 1\frac{1}{3}$.
Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$3\frac{13}{81} = \frac{3 \cdot 81 + 13}{81} = \frac{243 + 13}{81} = \frac{256}{81}$
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
Подставим полученные дроби в исходное равенство: $\sqrt[n]{\frac{256}{81}} = \frac{4}{3}$.
Это равенство эквивалентно $(\frac{4}{3})^n = \frac{256}{81}$.
Найдем $n$, возводя дробь $\frac{4}{3}$ в натуральную степень:
$(\frac{4}{3})^1 = \frac{4}{3}$
$(\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$
$(\frac{4}{3})^3 = \frac{64}{27}$
$(\frac{4}{3})^4 = \frac{4^4}{3^4} = \frac{256}{81}$
Таким образом, показатель корня $n=4$.
Ответ: 4