Номер 4.13, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.13, страница 29.

4.13. Найдите такое число a, чтобы выполнялось равенство:

а) $\sqrt[3]{a} = -4$;

б) $\sqrt[6]{-a} = \frac{2}{3}$;

в) $\sqrt[4]{-a} = 2$;

г) $\sqrt[5]{a} = 1\frac{1}{2}$.

а) Дано равенство $\sqrt[3]{a} = -4$. Чтобы найти a, необходимо возвести обе части равенства в третью степень. Это действие является обратным к извлечению кубического корня.

$(\sqrt[3]{a})^3 = (-4)^3$

$a = -64$

Ответ: $a = -64$.

б) Дано равенство $\sqrt[6]{-a} = \frac{2}{3}$. Так как показатель корня (6) — четное число, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a \ge 0$, что эквивалентно условию $a \le 0$. Чтобы найти a, возведем обе части равенства в шестую степень.

$(\sqrt[6]{-a})^6 = (\frac{2}{3})^6$

$-a = \frac{2^6}{3^6} = \frac{64}{729}$

Далее, умножим обе части на -1:

$a = -\frac{64}{729}$

Полученное значение $a = -\frac{64}{729}$ удовлетворяет условию $a \le 0$.

Ответ: $a = -\frac{64}{729}$.

в) Дано равенство $\sqrt[4]{-a} = 2$. Показатель корня (4) — четное число, поэтому подкоренное выражение не может быть отрицательным: $-a \ge 0$, или $a \le 0$. Возведем обе части равенства в четвертую степень.

$(\sqrt[4]{-a})^4 = 2^4$

$-a = 16$

Отсюда, умножая на -1, находим a:

$a = -16$

Данное значение удовлетворяет условию $a \le 0$.

Ответ: $a = -16$.

г) Дано равенство $\sqrt[5]{a} = 1\frac{1}{2}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь равенство имеет вид: $\sqrt[5]{a} = \frac{3}{2}$. Для нахождения a возведем обе части в пятую степень.

$(\sqrt[5]{a})^5 = (\frac{3}{2})^5$

$a = \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32}$

Этот результат также можно представить в виде смешанного числа $7\frac{19}{32}$.

Ответ: $a = \frac{243}{32}$.